Equazione di Steinhart-Hart

L'equazione di Steinhart-Hart è un modello matematico della resistenza elettrica di un semiconduttore al variare della temperatura.
È stata sviluppata da John S. Steinhart e Stanley R. Hart per essere usata con i termistori di tipo NTC dove fornisce una buona precisione.

L'equazione è:

$\frac{1}{T}=A+B\ln (R)+C[\ln (R){]}^3$

dove:

• T è la temperatura (in kelvin)
• R è la resistenza (in ohm)
• A, B e C sono i coefficienti di Steinhart-Hart che variano a seconda del tipo e modello di termistore e il range di temperatura scelto.

Nella sua forma più generale l'equazione contiene anche il termine $[\ln (R){]}^2$, ma tale coefficiente viene spesso trascurato perché è molto più piccolo degli altri.

Uso dell'equazione

L'equazione è spesso utilizzata per ricavare una precisa temperatura di un termistore poiché fornisce una maggiore approssimazione della temperatura effettiva di equazioni più semplici ed è utilizzabile per l'intera gamma di temperature di lavoro del sensore.

I coefficienti di Steinhart–Hart sono di solito forniti dai costruttori di termistori.

Se i coefficienti di Steinhart-Hart non sono disponibili ma si possono fare tre misure accurate di resistenza e temperatura, i coefficienti si ricavano da un sistema di tre equazioni lineari.

Note le resistenze in tre punti R₁, R₂, R₃ e le tre temperature corrispondenti (t₁, t₂, t₃ espresse in Celsius (°C) il sistema diventa:

$\frac{1}{t_1+273,15}=A+B\ln (R_1)+C(\ln (R_1){)}^3$

$\frac{1}{t_2+273,15}=A+B\ln (R_2)+C(\ln (R_2){)}^3$

$\frac{1}{t_3+273,15}=A+B\ln (R_3)+C(\ln (R_3){)}^3$

nelle tre incognite A, B e C.

Ponendo prima:

$L_1=\ln (R_1)$,

$L_2=\ln (R_2)$

e

$L_3=\ln (R_3)$,

$Y_1=\frac{1}{t_1+273,15}$

$Y_2=\frac{1}{t_2+273,15}$

$Y_3=\frac{1}{t_3+273,15}$,

poi:

${\gamma }_2=\frac{Y_2-Y_1}{L_2-L_1}$  e ${\gamma }_3=\frac{Y_3-Y_1}{L_3-L_1}$

seguono le soluzioni:

$\Rightarrow C=\left(\frac{{\gamma }_3-{\gamma }_2}{L_3-L_2}\right)\times \left(\frac{1}{L_1+L_2+L_3}\right)$

$\Rightarrow B={\gamma }_2-C\cdot (L_1^2+L_1\cdot L_2+L_2^2)$

$\Rightarrow A=Y_1-(B+L_1^2\cdot C)\cdot L_1$

L'equazione inversa

Per trovare la resistenza di un semiconduttore, nota la temperatura e i tre coefficienti (A, B e C), si deve usare la forma inversa dell'equazione di Steinhart-Hart.

Per risolvere l'equazione rispetto a R si osserva che essa è un'equazione di terzo grado con l'incognita ln (R).

$R=\exp (\sqrt[3]{x-\frac{y}{2}}-\sqrt[3]{x+\frac{y}{2}})$

dove:

$y=\frac{A-\frac{1}{T}}{C}$

$x=\sqrt{{\left(\frac{B}{3C}\right)}^3+\frac{y^2}{4}}$

John S. Steinhart e Stanley R. Hart

L'equazione prende il nome da John S. Steinhart e Stanley R. Hart che per primi la pubblicarono nel 1968. Il professor Steinhart (1929-2003), socio della American Geophysical Union (organizzazione non profit di geofisici statunitensi) e della American Association for the Advancement of Science, è stato un membro di facoltà dell'Università del Wisconsin-Madison nel periodo 1969-1991.

Il Dottor Hart, scienziato senior del Woods Hole Oceanographic Institution (organizzazione non profit privata di ricerca e istruzione superiore) dal 1989 e membro della Geological Society of America, dell'American Geophysical Union, della Geochemical Society e della European Association for Geochemistry, lavorava con il professor Steinhart al Carnegie Institution for Science (Washington) quando svilupparono l'equazione.

Voci correlate

• Termistore

Collegamenti esterni

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