Equazione di Hill (matematica)

In matematica, l'equazione di Hill è un'equazione differenziale ordinaria del secondo ordine, introdotta da George William Hill nel 1886, che ha la forma:

$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+f(t)y=0$

dove $f(t)$ è una funzione periodica.

Se il periodo è $\pi$ l'equazione si può riscrivere utilizzando la serie di Fourier di $f(t)$:

$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+({\theta }_0+2\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\theta }_n\cos (2nt)+\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}{\varphi }_m\sin (2mt))y=0$

Vi sono importanti casi particolari di questa equazione; in particolare l'equazione differenziale di Mathieu, l'equazione di Meissner e l''equazione differenziale di Whittaker-Hill:

$\frac{d^{2}y}{d{t}^2}+[A+B\cos (2x)+C\cos (4x)]y=0$

A seconda del comportamento di $f(t)$ le soluzioni dell'equazione di Hill possono essere limitate oppure crescere esponenzialmente, ciò rende l'equazione particolarmente significativa nello studio delle equazioni differenziali periodiche. La forma precisa delle soluzioni è descritta dalla teoria di Floquet.

Bibliografia

• Template:Cita pubblicazione
• Template:Fr Riesz, F Les systèmes d'équations linéaires à une infinité d'inconnues (Parigi, Gauthier-Villars, 1913).
• Template:En Whittaker, ET e Watson GN Course of Modern Analysis p. 406 (Cambridge University Press, 1915).

Voci correlate

• Equazione differenziale ordinaria
• Funzioni di Mathieu
• Teorema di Floquet

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni
• Template:SpringerEOM
• Template:En Magnus, W; Shenitzer, Abe Hill's equation. Part I. General theory (1957)
• Template:En Magnus, W; Winkler, S Hill's equation. II: Transformations, approximation, examples (1961)
• Template:En Magnus, W. Infinite determinants in the theory of Mathieu's and Hill's equations Pacific J. Math. Volume 5, Suppl. 2 (1955), 941-951.
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