Equazione di Ergun

L'equazione di Ergun, ricavata dall'ingegnere chimico turco Sabri Ergun nel 1952, descrive le perdite di carico lungo un reattore a letto fisso.

Tale equazione può essere scritta come:

$\frac{dP}{dz}=-\frac{G}{\rho g_c{D}_p}\left(\frac{1-\varphi }{{\varphi }^3}\right)[\frac{150(1-\varphi )\mu }{D_p}+1,75G]$

dove:

• $P=$ pressione, espressa in [Pa] (SI) oppure [lbf/ft²] (US)
• $z=$ lunghezza del letto, espressa in [m] (SI) oppure [ft] (US)
• $G=\rho u=$ velocità superficiale massica, espressa in [kg/m²·s] (SI) oppure [lbm/ft²·h] (US)
• $\rho =$ densità del fluido, espressa in [kg/m³] (SI) oppure [lbm/ft³] (US)
• $u=$ velocità superficiale, espressa in [m/s] (SI) oppure [ft/h] (US)
• $g_c=$ fattore di conversione, che vale 1 (SI) oppure 32,174 lbm·ft/lbf·s² (US)
• $D_p=$ diametro delle particelle di catalizzatore nel letto, espresso in [m] (SI) oppure [ft] (US)
• $\varphi =$ grado di vuoto del letto
• $\mu =$ viscosità dinamica del fluido, espressa in [kg/m·s] (SI) oppure [lbm/ft²·h] (US).

Caso gas

Se il fluido che attraversa il letto è un gas, l'unico parametro che cambia con la pressione lungo il letto è la densità del gas stesso. Operando in condizioni stazionarie, la portata massica entrante Q0 nel letto eguaglia la portata massica uscente Q dal letto, per cui:

$Q_0=Q$

${\rho }_0{v}_0=\rho v$

con $v_0$ portata volumetrica entrante e $v$ portata volumetrica uscente.
Per la legge dei gas perfetti si ha che:

$v=v_0\left(\frac{P_0}{P}\right)\left(\frac{T}{T_0}\right)\left(\frac{F_T}{F_{T0}}\right)$

con $T$ temperatura e $F_T$ portata molare totale, da cui

$\rho ={\rho }_0\frac{v_0}{v}={\rho }_0\left(\frac{P}{P_0}\right)\left(\frac{T_0}{T}\right)\left(\frac{F_{T0}}{F_T}\right)$

Andando a sostituire tale relazione nell'Equazione di Ergun si ottiene:

$\frac{dP}{dz}=-\frac{G}{{\rho }_0{g}_c{D}_p}\left(\frac{1-\varphi }{{\varphi }^3}\right)[\frac{150(1-\varphi )\mu }{D_p}+1,75G]\left(\frac{P_0}{P}\right)\left(\frac{T}{T_0}\right)\left(\frac{F_T}{F_{T0}}\right)$

che si può semplificare, tenendo conto che i primi tre fattori del membro di destra sono costanti lungo il letto per condizioni di ingresso fissate, in:

$\frac{dP}{dz}=-{\beta }_0\left(\frac{P_0}{P}\right)\left(\frac{T}{T_0}\right)\left(\frac{F_T}{F_{T0}}\right)=-{\beta }_0\left(\frac{1}{y}\right)\left(\frac{T}{T_0}\right)\left(\frac{F_T}{F_{T0}}\right)$

Dividendo per la pressione a monte del letto:

$\left(\frac{1}{P_0}\right)\frac{dP}{dz}=-\left(\frac{1}{P_0}\right){\beta }_0\left(\frac{1}{y}\right)\left(\frac{T}{T_0}\right)\left(\frac{F_T}{F_{T0}}\right)$

$\frac{d(P/P_0)}{dz}=-{\beta }_0\left(\frac{1}{y\cdot P_0}\right)\left(\frac{T}{T_0}\right)\left(\frac{F_T}{F_{T0}}\right)$

$\frac{dy}{dz}=-{\beta }_0\left(\frac{1}{y\cdot P_0}\right)\left(\frac{T}{T_0}\right)\left(\frac{F_T}{F_{T0}}\right)$

Ipotizzando di essere in condizioni isoterme, gli ultimi due fattori del membro di destra si semplificano:

$\frac{dy}{dz}=-{\beta }_0\left(\frac{1}{y\cdot P_0}\right)$

dalla quale infine è possibile ricavare il rapporto tra pressione finale e iniziale lungo il letto,

$y=\frac{P}{P_0}=\sqrt{1-\frac{2{\beta }_{0}z}{P_0}}$

Bibliografia

• H. Scott Fogler, "Elements of Chemical Reaction Engineering", IV Edition, ed. Prentice Hall

Voci correlate

• Reattore a letto fisso