Epigrafico (matematica)

Una funzione è convessa Template:Sic la regione sopra al suo grafico (in verde) è un insieme convesso. Questa regione è l'epigrafico della funzione.

In analisi matematica, l'epigrafico di una funzione

$f:A\to ℝ$

definita su un insieme $A$ è l'insieme di punti che stanno al di sopra o sul grafico della funzione:

$\text{epi}f=\{(x,\mu ):x\in A,\mu \in ℝ,\mu \ge f(x)\}\subseteq A\times ℝ$

Se $A$ è un sottoinsieme di ${ℝ}^n$, l'epigrafico è un sottoinsieme di ${ℝ}^{n+1}$.

Proprietà

Convessità

Nell'ipotesi:

$A={ℝ}^n$

Una funzione è convessa se e solo se il suo epigrafico è un insieme convesso. Un insieme A è detto convesso se i segmenti che hanno estremi in A sono tutti suoi sottoinsiemi

Funzioni lineari

L'epigrafico di una funzione affine reale

$g:{ℝ}^n\to ℝ$

è un semispazio di ${ℝ}^{n+1}$.

Semicontinuità

Una funzione è inferiormente semicontinua se e solo se il suo epigrafico è chiuso.