Energia totale relativistica

L'energia totale relativistica $E$, nella teoria della relatività ristretta, è data dall'Energia a riposo $E_0=m{c}^2$ a cui va aggiunta l'Energia cinetica relativistica $K=(\gamma -1)m{c}^2$ :

$E=E_0+K=m{c}^2+(\gamma -1)m{c}^2=\gamma m{c}^2=\sqrt{p^2{c}^2+m^2{c}^4}$

dove:

• $m$ è la massa invariante della particella
• $c$ è la velocità della luce
• $\gamma$ è il fattore di Lorentz
• $p=\gamma mv$ è la quantità di moto relativistica

Si è qui usata la notazione moderna, che denota con m la massa invariante a ogni velocità v < c (numericamente coincidente con la massa a riposo $m_0$) e conseguentemente si scrive:

$E=\gamma m{c}^2$

per l'energia relativistica totale e

$E_0=m{c}^2$

per l'energia a riposo.

Approssimazione per basse velocità

L'energia cinetica relativistica $K$ è data dalla differenza tra l'energia totale $E=\gamma m{c}^2$ e l'energia a riposo $E_0=m{c}^2$:

$K=E-E_0=\gamma m{c}^2-m{c}^2=(\gamma -1)m{c}^2$

che per piccole velocità (v ≪ c) è approssimabile all'espressione classica dell'energia cinetica,

$K=\frac{1}{2}m{v}^2$.

Si può mostrare che le due forme concordano espandendo $\gamma$ in serie di Taylor:

$\gamma =\frac{1}{\sqrt{1-(v/c{)}^2}}\simeq 1+\frac{1}{2}{\left(\frac{v}{c}\right)}^2$.

Inserendolo nell'equazione originaria, si ottiene un'approssimazione all'espressione classica dell'energia cinetica:

$K\simeq \frac{1}{2}{\left(\frac{v}{c}\right)}^{2}m{c}^2\simeq \frac{1}{2}m{v}^2$.

L'energia totale relativistica comprende anche l'energia a riposo del corpo (che dipende solo dalla massa a riposo), che non compare invece nella definizione classica dell'energia. L'espressione dell'energia cinetica relativistica è invece equivalente a quella classica per basse velocità v rispetto a c. Questo mostra come la relatività sia una teoria più generale rispetto alla meccanica classica, che rientra nella meccanica relativistica come caso particolare.

Voci correlate

• Energia a riposo
• Teoria della relatività ristretta
• E = mc²
• Energia totale
• Cinematica relativistica

Collegamenti esterni

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