Elasticità di scala

L'elasticità di scala (in inglese elasticity of scale o total elasticity of production) è un particolare tipo di elasticità utilizzato nell'economia della produzione e originariamente introdotto dall'economista norvegese Ragnar Frisch (1965).

Data una funzione di produzione del tipo:

$y=f(𝐱)$

dove y è l'output e x è il vettore degli input in termini fisici, e uno scalare positivo λ, l'elasticità di scala si definisce come:

(1) $\epsilon ={\frac{df(\lambda 𝐱)}{d\lambda }\frac{\lambda }{f(\lambda 𝐱)}|}_{\lambda =1}$

Diremo che la tecnologia esibisce localmente in x rendimenti di scala crescenti, costanti, o decrescenti, a seconda che l'elasticità di scala sia, rispettivamente, maggiore, uguale o minore di 1.

Da notare che la (1) può essere riscritta come:

$\epsilon =\underset{\lambda \to 1}{\lim }\frac{d\log f(\lambda 𝐱)}{d\log \lambda }$

Da cui, applicando la regola di L'Hopital otteniamo:

(2) $\epsilon =\underset{\lambda \to 1}{\lim }\frac{\frac{d\log f(\lambda 𝐱)}{d\lambda }}{\frac{d\log \lambda }{d\lambda }}=\underset{\lambda \to 1}{\lim }\frac{\lambda }{f(\lambda 𝐱)}\left(\frac{\partial f(\lambda 𝐱)}{\partial (\lambda 𝐱)}\right)𝐱=\frac{1}{f(𝐱)}\left(\frac{\partial f(𝐱)}{\partial 𝐱}\right)𝐱=\sum _i\frac{\partial f(𝐱)}{\partial x_i}\frac{x_i}{f(𝐱)}$

Il termine i-esimo della sommatoria nella (2) non è altro che l'elasticità di output dell'input corrispondente, quindi l'elasticità di scala può essere anche calcolata come somma delle elasticità di output dei singoli fattori di produzione impiegati.

Bibliografia

• Frisch, R. (1965), Theory of Production, Rand McNally, Chicago;

Voci correlate

• Elasticità (economia)
• Elasticità di output
• Rendimenti di scala