Dodecadodecaedro camuso invertito

Template:Poliedro In geometria, il dodecadodecaedro camuso invertito è un poliedro stellato uniforme avente 84 facce - 60 triangolari, 12 pentagonali e 12 a forma di pentagramma - 150 spigoli e 60 vertici.

Coordinate cartesiane

Le coordinate cartesiane per i vertici del dodecadodecaedro camuso invertito, spesso indicato con il simbolo U₆₀ e il cui inviluppo convesso è un dodecaedro camuso non uniforme, sono date da tutte le permutazioni pari di:

$(\pm 2\alpha ,\pm 2,\pm 2\beta )$

$(\pm (\alpha +\beta {\phi }^{-1}+\phi ),\pm (-\alpha \phi +\beta +{\phi }^{-1}),\pm (\alpha {\phi }^{-1}+\beta \phi -1))$

$(\pm (-\alpha {\phi }^{-1}+\beta \phi +1),\pm (-\alpha +\beta {\phi }^{-1}-\phi ),\pm (\alpha \phi +\beta -{\phi }^{-1}))$

$(\pm (-\alpha {\phi }^{-1}+\beta \phi -1),\pm (\alpha -\beta {\phi }^{-1}-\phi ),\pm (\alpha \phi +\beta +{\phi }^{-1}))$

$(\pm (\alpha +\beta {\phi }^{-1}-\phi ),\pm (\alpha \phi -\beta +{\phi }^{-1}),\pm (\alpha {\phi }^{-1}+\beta \phi +1))$

con un numero pari di segni più, dove $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ è la sezione aurea, $\alpha \approx -0,3352090$ è la radice reale negativa dell'equazione l'unica soluzione reale dell'equazione $$\phi {\alpha }^4-{\alpha }^3+2{\alpha }^2-\alpha -\frac{1}{\phi }=0$$ e $$\beta =\frac{{\alpha }^2{\phi }^{-1}+\phi }{\alpha \phi -{\phi }^{-1}}.$$

Poliedri correlati

Esacontaedro pentagonale medio invertito

Template:Poliedro LTemplate:'esacontaedro pentagonale medio invertito è un poliedro stellato isoedro, nonché il duale del dodecadodecaedro camuso invertito, avente per facce 60 pentagoni irregolari non convessi.

Dato un dodecadodecaedro camuso invertito di spigolo pari a 1, immaginando l'esacontaedro pentagonale medio invertito come composto da 60 facce intersecanti a forma di pentagono irregolare non convesso, come riportato nella figura sottostante, di cui solo una parte visibile all'esterno del solido, e considerando la già citata sezione aurea e il numero $\xi \approx -0,23699384345$ - radice maggiore del polinomio $P=8x^4-12x^3+5x+1$ - ogni faccia risulta avere tre angoli uguali di ampiezza pari a $\arccos (\xi )\approx 103,70918221953^{\circ }$, un angolo ampio $\arccos ({\varphi }^2\xi +\varphi )\approx 3,99013042341^{\circ }$ e uno ampio $360^{\circ }-\arccos ({\varphi }^{-2}\xi -{\varphi }^{-1})\approx 224,88232291799^{\circ }$, con due lati corti di lunghezza pari a $$1-\sqrt{\frac{1-\xi }{{\varphi }^3-\xi }}\approx 0,47412646054,$$ due più grandi di lunghezza pari a $$1+\sqrt{\frac{1-\xi }{{\varphi }^{-3}-\xi }}\approx 37,55187944854$$ e due medi di lunghezza pari a 2.

Collegamenti esterni

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