Dodecadodecaedro camuso

Template:Poliedro In geometria, il dodecadodecaedro camuso è un poliedro stellato uniforme avente 84 facce - 60 triangolari, 12 pentagonali e 12 a forma di pentagramma - 150 spigoli e 60 vertici.

Coordinate cartesiane

Le coordinate cartesiane per i vertici del dodecadodecaedro camuso, spesso indicato con il simbolo U₄₀ e il cui inviluppo convesso è un dodecaedro camuso non uniforme, sono date da tutte le permutazioni pari di:

$(\pm 2\alpha ,\pm 2,\pm 2\beta )$

$(\pm (\alpha +\beta {\phi }^{-1}+\phi ),\pm (-\alpha \phi +\beta +{\phi }^{-1}),\pm (\alpha {\phi }^{-1}+\beta \phi -1))$

$(\pm (-\alpha {\phi }^{-1}+\beta \phi +1),\pm (-\alpha +\beta {\phi }^{-1}-\phi ),\pm (\alpha \phi +\beta -{\phi }^{-1}))$

$(\pm (-\alpha {\phi }^{-1}+\beta \phi -1),\pm (\alpha -\beta {\phi }^{-1}-\phi ),\pm (\alpha \phi +\beta +{\phi }^{-1}))$

$(\pm (\alpha +\beta {\phi }^{-1}-\phi ),\pm (\alpha \phi -\beta +{\phi }^{-1}),\pm (\alpha {\phi }^{-1}+\beta \phi +1))$

con un numero pari di segni più, dove $$\beta =\frac{\frac{{\alpha }^2}{\phi }+\phi }{\alpha \phi -\frac{1}{\phi }},$$ $\phi =\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ è la sezione aurea e α è la radice reale positiva di $$\phi {\alpha }^4-{\alpha }^3+2{\alpha }^2-\alpha -\frac{1}{\phi }⟹\alpha \approx 0,7964421.$$

Poliedri correlati

Esacontaedro pentagonale medio

Template:Poliedro LTemplate:'esacontaedro pentagonale medio è un poliedro stellato isoedro, nonché il duale del dodecadodecaedro camuso, avente per facce 60 pentagoni irregolari.

Dato un dodecadodecaedro camuso di spigolo pari a 1, immaginando l'esacontaedro pentagonale medio come composto da 60 facce intersecanti a forma di pentagono irregolare, come riportato nella figura sottostante, di cui solo una parte visibile all'esterno del solido, e considerando la già citata sezione aurea e il numero $\xi \approx -0,40903778801442$, ogni faccia risulta avere tre angoli uguali di ampiezza pari a $\arccos (\xi )\approx 114,14440447043^{\circ }$, uno di ampiezza pari a $\arccos ({\phi }^2\xi +\phi )\approx 56,82766328094^{\circ }$ e l'ultimo di ampiezza pari a $\arccos ({\phi }^{-2}\xi -{\phi }^{-1})\approx 140,73912330776^{\circ }$, con due lati di lunghezza pari a $$1+\sqrt{\frac{1-\xi }{-{\phi }^{-3}-\xi }}\approx 3,85414587008,$$ due più corti di lunghezza $$1+\sqrt{\frac{1-\xi }{{\phi }^3-\xi }}\approx 1,55076142720,$$ e uno medio di lunghezza 2.

Collegamenti esterni

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