Disuguaglianza di Ono

In matematica, la disuguaglianza di Ono è un teorema sui triangoli. Esso afferma che per ogni triangolo acutangolo di lati a, b e c e superficie A vale la seguente disuguaglianza:

$27{\left(a^2+b^2-c^2\right)}^2{\left(a^2+c^2-b^2\right)}^2{\left(b^2+c^2-a^2\right)}^2\le {\left(4A\right)}^6$

L'uguaglianza vale se il triangolo è equilatero.

T. Ono propose questa disuguaglianza nel 1914, chiedendo se fosse vera per qualunque triangolo. Questa congettura fu smentita da G. Quijano nel 1915, ma fu dimostrata per i triangoli acuti (incluso quello rettangolo) da F. Balitrand nel 1916.

Un semplice controesempio alla congettura di Ono è a = 3/4, b = 1/2, c = 1.

Dimostrazione

Supponiamo che il triangolo non sia ottusangolo, quindi abbia tutti gli angoli minori o uguali all'angolo retto. Sia γ l'angolo opposto al lato $c$. Per il teorema del coseno a² +b² − c² = 2ab cosγ. Per l'ipotesi, il coseno di γ è positivo (o al più nullo), e quindi a² +b² − c² ≥ 0. Analogamente si dimostra che b² +c² − a² ≥ 0 e c² +a² − b² ≥ 0.

Sia $f(x,y,z)$ la funzione

$f(x,y,z)={\left({\left(x^2-z^2\right)}^2+y^2\left(x^2-2y^2+z^2\right)\right)}^2+15{\left(x-z\right)}^2{\left(x+z\right)}^2{\left(z^2+x^2-y^2\right)}^2$

Essa è sempre non-negativa ed è uguale a 0 solo per $x=y=z$.

Applicando la formula di Erone e svolgendo i calcoli si verifica che:

${\left(4A\right)}^6-27{\left(a^2+b^2-c^2\right)}^2{\left(b^2+c^2-a^2\right)}^2{\left(c^2+a^2-b^2\right)}^2=$

$=f(a,b,c)\left(a^2+b^2-c^2\right)\left(b^2+c^2-a^2\right)+f(c,a,b)\left(c^2+a^2-b^2\right)\left(a^2+b^2-c^2\right)+$

$+f(b,c,a)\left(b^2+c^2-a^2\right)\left(c^2+a^2-b^2\right)\ge 0$

con l'uguaglianza se e solo se $a=b=c$. Ciò conclude la dimostrazione.

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