Disuguaglianza di MacLaurin

In matematica, la disuguaglianza di MacLaurin fornisce una serie di termini intermedi tra la media aritmetica e quella geometrica di una n-upla di reali positivi.

Definizione

Sia $a_1,\dots ,a_n$ una n-upla di numeri reali. Indichiamo con $c_k$ la somma di tutti i possibili prodotti di k fattori scelti in n.

Grazie alle relazioni tra radici e coefficienti di un polinomio si dice che $c_k$ è il coefficiente di $x^{n-k}$ nel polinomio $(x+a_1)\cdot \dots \cdot (x+a_n)$.

Indichiamo con $d_k$ la media aritmetica degli addendi che compongono $c_k$, cioè

$d_k=\frac{c_k}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}$

La disuguaglianza di MacLaurin dice che

$\sqrt[n]{d_n}\le \sqrt[n-1]{d_{n-1}}\le \dots \le \sqrt{d_2}\le d_1$

Inoltre vale un qualunque segno di uguale (e in tal caso valgono tutti) se e solo se gli $a_i$ sono tutti uguali.

Esempio

Poniamo $n=4$ e siano a, b, c, d quattro numeri reali positivi. Allora per la disuguaglianza di MacLaurin

$\sqrt[4]{abcd}\le \sqrt[3]{\frac{abc+abd+acd+bcd}{4}}\le \sqrt[2]{\frac{ab+ac+ad+bc+bd+cd}{6}}\le \frac{a+b+c+d}{4}$

Voci correlate

• Colin Maclaurin
• Disuguaglianza di Newton