Disuguaglianza di Carleman

La disuguaglianza di Carleman è una disuguaglianza, il cui nome deriva da Torsten Carleman, che la dimostrò nel 1923 e la usò per provare il teorema di Denjoy-Carleman su le classi di funzioni quasi analitiche.

Enunciato

Sia $a_1$, $a_2$, $a_3$, ... una successione di numeri reali non negativi, allora

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{(a_1{a}_2\cdots a_n)}^{1/n}\le e\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n.$

La costante e nella disuguaglianza è ottimale, cioè la disuguaglianza non vale sempre se $e$ è sostituito da un numero più piccolo. La disuguaglianza è stretta (vale con $<$ invece di $\le$) se qualche elemento della successione è non nullo.

Versione integrale

La disuguaglianza di Carleman possiede una versione integrale, la quale afferma che

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}\exp \{\frac{1}{x}\underset{0}{\overset{x}{\int }}\ln f(t)dt\}dx\le e\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}f(x)dx$

per ogni $f\ge 0$

Disuguaglianza di Carleson

Una generalizzazione, dovuta a Lennart Carleson, afferma il seguente enunciato:

per ogni funzione convessa $g$ con $g(0)=0$, e per ogni $p>-1$,

$\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^p{e}^{-g(x)/x}dx\le e^{p+1}\underset{0}{\overset{\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^p{e}^{-g^{\prime }(x)}dx.$

La disuguaglianza di Carleman corrisponde al caso $p=0$.

Dimostrazione

Una dimostrazione elementare è abbozzata di seguito. Dalla disuguagianza della media aritmetica e geometrica applicata a $1\cdot a_1,2\cdot a_2,\dots ,n\cdot a_n$

$\mathrm{M}\mathrm{G}(a_1,\dots ,a_n)=\mathrm{M}\mathrm{G}(1a_1,2a_2,\dots ,n{a}_n)(n!{)}^{-1/n}\le \mathrm{M}\mathrm{A}(1a_1,2a_2,\dots ,n{a}_n)(n!{)}^{-1/n}$

dove MG indica la media geometrica e MA quella aritmetica. Dall'approssimazione di Stirling si ottiene che $n!\ge \sqrt{2\pi n}{n}^n{e}^{-n}$, e applicata a $n+1$ implica

$(n!{)}^{-1/n}\le \frac{e}{n+1}$ per ogni $n\ge 1.$

Perciò,

$MG(a_1,\dots ,a_n)\le \frac{e}{n(n+1)}\sum _{1\le k\le n}k{a}_k,$

da cui

$\sum _{n\ge 1}MG(a_1,\dots ,a_n)\le e\sum _{k\ge 1}\left(\sum _{n\ge k}\frac{1}{n(n+1)}\right)k{a}_k=e\sum _{k\ge 1}{a}_k,$

che dimostra la disuguaglianza. Oltretutto, la disuguaglianza della media aritmetica e geometrica di $n$ numeri non negativi si sa essere una uguaglianza se e solo se tutti i numeri coincidono, cioè in questo caso se e solo se $a_k=C/k$ per $k=1,\dots ,n$. Di conseguenza, la disuguaglianza di Carleman non è mai un'uguaglianza per le serie convergenti, a meno che tutti gli $a_n$ si annullino, poiché la serie armonica è divergente.

Si può provare la disuguaglianza di Carleman anche utilizzando la disuguaglianza di Hardy

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\right)}^p\le {\left(\frac{p}{p-1}\right)}^p\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n^p$

per ogni numero non negativo $a_1$,$a_2$,... e $p>1$, sostituendo ogni $a_n$ con $a^{1/p}$ e con $p\to \mathrm{\infty }$.

Bibliografia

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Voci correlate

• Disuguaglianza di Hardy sulle successioni
• Successione