Disuguaglianza di Bernstein

Template:F Nella teoria della probabilità, la disuguaglianza di Bernstein è una delle disuguaglianze riguardanti la somma di variabili casuali. Venne formulata da Sergei Natanovich Bernstein, di cui porta il nome.

Teorema

Siano $X_1,...,X_n$ delle variabili casuali indipendenti limitate, allora vale la disuguglianza:

$\mathbb{P}(|\sum _{i=1}^n{X}_i-\mu |\ge \lambda )\le 2e^{-\frac{{\lambda }^2}{2{\sigma }^2+\frac{2}{3}m\lambda }}$;

dove:

• ${\sigma }^2=Var(\sum X_i)=\sum Var(X_i)=\sum {\sigma }_i^2$ è la varianza della somma delle variabili,
• $\mu =\sum 𝔼[X_i]$ è il valore atteso della somma delle variabili,
• $m$ è una costante tale che $\mathbb{P}(|X_i-{\mu }_i|>m)=0$, ovvero $m$ è lo scarto massimo rispetto alla media, presente tra le $n$ variabili casuali $X_1,\dots ,X_n$ (tale $m$ esiste, in quanto si è assunto che le $X_i$ fossero limitate).

Disuguaglianza di Bernstein e Chebyshev a confronto

Utilizzando la disuguaglianza di Chebyshev quadratica, si può stimare la stessa quantità:

$\mathbb{P}(|\sum _{i=1}^n{X}_i-\mu |\ge \lambda )\le \frac{{\sigma }^2}{{\lambda }^2};$

la stima di Bernstein è evidentemente più accurata: garantisce infatti un decadimento esponenziale (per grandi $\lambda$) della probabilità che la somma delle variabili aleatorie si discosti dalla media (mentre la disuguaglianza di Chebyshev garantisce solo un decadimento quadratico). Tuttavia, la disuguaglianza di Bernstein è valida sotto l'ipotesi che le variabili considerate siano limitate (ipotesi non necessaria per Chebyshev).

Voci correlate

• Sergei Natanovic Bernstein
• Disuguaglianza di Chebyshev
• Disuguaglianza di Hoeffding