Disuguaglianza delle medie

In matematica, la disuguaglianza delle medie serve a confrontare due medie di tipo diverso.

La disuguaglianza

Siano $M_{p} (a_{1}, \dots, a_{n})$ e $M_{q} (a_{1}, \dots, a_{n})$ due medie di potenze, con $p < q$ , di una n-upla di reali positivi $(a_{1}, \dots, a_{n})$ .

Allora $M_{p} (a_{1}, \dots, a_{n}) \leq M_{q} (a_{1}, \dots, a_{n})$ , con uguaglianza se e solo se gli $a_{i}$ sono tutti uguali.

Considerando le medie più note (media armonica (HM), media geometrica (GM), media aritmetica (AM), media quadratica (QM), media cubica (CM)), si può costruire questa catena di disuguaglianze:

\min {a_{1}, \dots, a_{n}} \leq H M \leq G M \leq A M \leq Q M \leq C M \leq \max {a_{1}, \dots, a_{n}} .

Vale un segno di uguale se e solo se valgono tutti i segni di uguale, e questo se e solo se gli $a_{i}$ sono tutti uguali. Template:Portale

Disuguaglianza delle medie

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