Distribuzione paretiana

Schema di una distribuzione paretiana

In teoria delle probabilità la distribuzione paretiana (o distribuzione di Pareto, così chiamata in onore di Vilfredo Pareto) è una distribuzione di probabilità continua, utilizzata in particolar modo per descrivere la distribuzione dei redditi.

Metodologia

La funzione di densità di probabilità associata alla distribuzione paretiana è:

$f(x)=\frac{\alpha {\beta }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}$

$f(x)=\{\begin{array}{cc}\frac{\alpha {\beta }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}& \text{per }x\ge \beta \\ 0& \text{per }x<\beta \end{array}$

La distribuzione paretiana è caratterizzata da due parametri: uno di posizione $\beta$ positivo, che è il valore minimo che può assumere $X$, e un parametro di forma $\alpha$, anch'esso positivo, che viene spesso indicato come "indice coda".

La variabile casuale paretiana è spesso utilizzata per modellizzare la distribuzione del reddito; in tal caso, $\beta$ viene interpretato come reddito minimo.

Integrando la funzione densità tra $\beta$ e $x\in (\beta ;+\mathrm{\infty })$ si ottiene la funzione di distribuzione:

$\begin{array}{cc}{F}_X(x)=\alpha {\beta }^{\alpha }\underset{\beta }{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{\xi }^{-(\alpha +)}d\xi & =\alpha {\beta }^{\alpha }\cdot -\frac{1}{\alpha }{\xi }^{-\alpha }{|}_{\beta }^{+\mathrm{\infty }}=-{\beta }^{\alpha }\cdot \frac{1}{{\xi }^{\alpha }}{|}_{\beta }^x\\ & =-{\beta }^{\alpha }(\frac{1}{x^{\alpha }}-\frac{1}{{\beta }^{\alpha }})=1-{\left(\frac{\beta }{x}\right)}^{\alpha }\end{array}$

$F(x)=\{\begin{array}{cc}1-(\frac{\beta }{x}{)}^{\alpha }& \text{per }x\ge \beta \\ 0& \text{per }x<\beta \end{array}$

I suoi principali parametri sono:

Momenti ordinari

$\begin{array}{cc}{\mu }_1& =\underset{\beta }{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}x\frac{\alpha {\beta }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}dx=\alpha {\beta }^{\alpha }\underset{\beta }{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{-\alpha }dx=\alpha {\beta }^{\alpha }\cdot \frac{x^{1-\alpha }}{1-\alpha }{|}_{\beta }^{+\mathrm{\infty }}\\ & =\frac{\alpha {\beta }^{\alpha }}{1-\alpha }\cdot \frac{1}{x^{\alpha -1}}{|}_{\beta }^{+\mathrm{\infty }}=\frac{\alpha {\beta }^{\alpha }}{1-\alpha }(0-\frac{1}{{\beta }^{\alpha -1}})=\frac{\alpha \beta }{\alpha -1}\\ \end{array}$

Da cui si ottiene:

${\mu }_1=\{\begin{array}{cc}\frac{\alpha \beta }{\alpha -1}& \text{per }\alpha >1\\ \mathrm{\infty }& \text{per }\alpha \ge 1\end{array}$

$\begin{array}{cc}{\mu }_2& =\alpha {\beta }^{\alpha }\underset{\beta }{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}\frac{x^2}{x^{\alpha +1}}dx=\alpha {\beta }^{\alpha }\underset{\beta }{\overset{+\mathrm{\infty }}{\int }}{x}^{1-\alpha }dx=\alpha {\beta }^{\alpha }\cdot \frac{1}{2-\alpha }{x}^{2-\alpha }{|}_{\beta }^{+\mathrm{\infty }}\\ & =\alpha {\beta }^{\alpha }\cdot \frac{1}{2-\alpha }\frac{1}{x^{\alpha -2}}{|}_{\beta }^{+\mathrm{\infty }}=\alpha {\beta }^{\alpha }\cdot \frac{1}{2-\alpha }(0-\frac{1}{{\beta }^{\alpha -2}})\\ & =-\frac{\alpha {\beta }^{\alpha }}{2-\alpha }\cdot \frac{1}{{\beta }^{\alpha -2}}=\frac{\alpha {\beta }^2}{\alpha -2}\end{array}$

Da cui si ricava:

${\mu }_2=\{\begin{array}{cc}\frac{\alpha {\beta }^2}{\alpha -2}& \text{per }\alpha >2\\ \mathrm{\infty }& \text{per }\alpha \ge 2\end{array}$

In generale un momento di ordine $n$ è definito come:

${\mu }_n=\{\begin{array}{cc}\frac{\alpha {\beta }^n}{x-n}& \text{per }0<n<\alpha \\ \mathrm{\infty }& \text{per }n\ge \alpha \end{array}$

Funzione generatrice dei momenti

$M(\theta )=E[e^{\theta x}]=\alpha (-\beta \theta {)}^{\alpha }\mathrm{\Gamma }(-\alpha ,-\beta \theta )$

dove $\mathrm{\Gamma }(-\alpha ,-\beta \theta )$ è una funzione gamma incompleta.

La funzione generatrice di momenti è definita solo per valori non positivi di $\theta$.

Varianza

$\begin{array}{cc}{\sigma }^2& ={\mu }_2-{\mu }_1^2=\frac{\alpha {\beta }^2}{\alpha -2}-{\left(\frac{\alpha \beta }{\alpha -1}\right)}^2=\frac{\alpha {\beta }^2}{\alpha -2}-\frac{{\alpha }^2{\beta }^2}{(\alpha -1{)}^2}\\ & =\frac{\alpha {\beta }^2(\alpha -1{)}^2-{\alpha }^2{\beta }^2(\alpha -2)}{(\alpha -2)(\alpha -1{)}^2}\\ & =\frac{{\alpha }^3{\beta }^2+\alpha {\beta }^2-2{\alpha }^2{\beta }^2-{\alpha }^3{\beta }^2+2{\alpha }^2{\beta }^2}{(\alpha -2)(\alpha -1{)}^2}\\ & =\frac{\alpha {\beta }^2}{(\alpha -2)(\alpha -1{)}^2}\end{array}$

Da cui ricaviamo:

${\sigma }^2=\{\begin{array}{cc}\frac{\alpha {\beta }^2}{(\alpha -2)(\alpha -1{)}^2}& \text{per }\alpha >2\\ \mathrm{\infty }& \text{per }\alpha \in (1;2]\end{array}$

Si noti che per $\alpha \le 1$ la varianza non esiste.

Mediana

$1-(\frac{\beta }{{\xi }_{0.5}}{)}^{\alpha }=\frac{1}{2}\to (\frac{\beta }{{\xi }_{0.5}}{)}^{\alpha }=\frac{1}{2}$

${\xi }_{0.5}=\sqrt[\alpha ]{2}\beta$

Simmetria

${\beta }_1=\frac{4(\alpha -2)(\alpha +1{)}^2}{\alpha (\alpha -3{)}^2}$ per $\alpha >3$

Curtosi

${\beta }_2=\frac{3(\alpha -2)(3{\alpha }^2+\alpha +2)}{\alpha (\alpha -3)(\alpha -4)}$ per $\alpha >4$

Caratteristiche

La variabile casuale paretiana ha elasticità costante (negativa):

ε(x) = df / f / dx / x = -(α+1)

che può essere interpretato nel senso che, qualunque sia il reddito x₀

se

per il reddito x₀ abbiamo y₀ persone che lo guadagnano

allora

per il reddito x₀+1% ci saranno y₀-(α+1)% persone

Voci correlate

• Effetto Lindy
• Variabile casuale di Dagum
• Diagramma di Pareto
• Legge di potenza
• Legge di Zipf
• Variabile casuale logonormale, anch'essa usata per descrivere distribuzioni di redditi
• Vilfredo Pareto
• Principio di Pareto

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni