Distribuzione Poisson-Gamma

In teoria della probabilità la distribuzione Poisson-Gamma è una distribuzione di probabilità discreta che svolge un importante ruolo nell'ambito dell'inferenza bayesiana. È la distribuzione di probabilità associata a una variabile casuale poissoniana, Poiss(λ), in cui il parametro λ non è costante ma varia come una variabile casuale Gamma; in altre parole è una mistura di Poisson in cui il parametro λ ha distribuzione Gamma. Si tratta di una generalizzazione della distribuzione casuale binomiale negativa al caso di parametri non interi.

La funzione di probabilità è data da

$P(X=x|a,b,\nu )={\left(\frac{b}{b+\nu }\right)}^a\frac{1}{\mathrm{\Gamma }(a)}\frac{\mathrm{\Gamma }(a+x)}{x!}{\left(\frac{\nu }{b+\nu }\right)}^x$

dove $a>0$ e $b>0$.

Il valore atteso è dato da

$E(X)=\nu \frac{a}{b}$

e la varianza

$Var(X)=a\frac{\nu }{b}(1+\frac{\nu }{b})=E(X)(1+\frac{\nu }{b})$

e dunque in questo caso la varianza è sempre maggiore del valore atteso, al contrario di guanto accade per la distribuzione di Poisson dove questi due parametri coincidono.

Nel caso particolare in cui $a$ è un numero intero, si ha che $X+a\sim NBin(a,\frac{b}{b+\nu })$, dove NBin indica la variabile casuale binomiale negativa, motivo per la quale la Poisson-Gamma può essere vista come la generalizzazione della binomiale negativa ai numeri reali.

Bibliografia

• Leonhard Held: Methoden der statistischen Inferenz. Likelihood und Bayes, con la collaborazione di Daniel Sabanés Bové, Spektrum Akademischer Verlag Heidelberg 2008, ISBN 978-3-8274-1939-2

Voci correlate

• variabile casuale beta-binomiale