Disequazione esponenziale

Una disequazione esponenziale è una disequazione in cui l'incognita si trova come esponente di una qualsiasi base numerica, purché strettamente positiva e diversa da 1: è una disequazione esponenziale ad esempio $a^x+6<x+2$, ma non $x^5+e^2<4$.

Per risolvere una disequazione esponenziale, bisogna cercare di ricondurla a una forma ridotta del tipo $a^x<b$ oppure $a^x>b$. In seguito si cerca di riportare $b$ in dipendenza da $a$, portandosi a una forma del tipo $a^x<a^c$. A questo punto la disequazione è detta disequazione in forma canonica ed è risolta per $x<c$ se $a>1$, e per$x>c$ se $0<a<1$.

Per calcolare più facilmente le soluzioni di una disequazione esponenziale, ci si può affidare anche al grafico della funzione esponenziale qui a fianco.

La funzione esponenziale è quasi piatta (crescendo lentamente) per x negativo, e cresce velocemente per x positivo.

Per una risoluzione grafica della disequazione, è necessario mantenere da una parte del segno di disuguaglianza la funzione esponenziale, portando tutto il resto dall'altra parte del segno maggiore o minore. A questo punto si disegna sul grafico la funzione esponenziale e la funzione rappresentata da tutto ciò che sta al di là del segno della disequazione. Si verifica poi graficamente il campo di valori per cui la disequazione è soddisfatta.

Esempio: $2^x-x>0$.

Si porta la disequazione nella forma $2^x>x$. Si disegna sul grafico la funzione $f(x)=2^x$ (grafico sotto in rosso) e la retta $g(x)=x$ (bisettrice del 1° e 3° quadrante, in blu). Si verifica facilmente che, a parità di ascissa, la funzione $2^x$ sta sempre al di sopra della retta, quindi la disequazione è soddisfatta per ogni $x\in ℝ$ (in verde vi è la funzione $y={\log }_{2}x$, non presente nella disequazione presa ad esempio).

Bibliografia

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Voci correlate

• Disequazione
• Disequazione trascendente
• Funzione esponenziale