Derivazione delle funzioni iperboliche

Template:Clear L'equazione dell'iperbole equilatera in figura è:

$x^2-y^2=a^2$

quindi:

$\overline{OC}=x,\overline{PC}=\sqrt{x^2-a^2},\overline{OA}=a.$

L'area del settore iperbolico $OAP$ è uguale all'area del triangolo $OPC$ meno l'area della regione del piano delimitata dall'arco di iperbole $AP$, dall'asse delle $x$ e dal segmento $PC.$

$S=\frac{1}{2}x\sqrt{x^2-a^2}-\underset{a}{\overset{x}{\int }}\sqrt{t^2-a^2}dt=\frac{a^2}{2}[\ln (x+\sqrt{x^2-a^2})-\ln a]=\frac{a^2}{2}[\ln (\frac{x}{a}+\sqrt{{\left(\frac{x}{a}\right)}^2-1})].$

Posto $\frac{2S}{a^2}=t$, si ha:

$\ln (\frac{x}{a}+\sqrt{{\left(\frac{x}{a}\right)}^2-1})=t$

$\frac{x}{a}+\sqrt{{\left(\frac{x}{a}\right)}^2-1}=e^t$

${\left(\frac{x}{a}\right)}^2-1={(e^t-\frac{x}{a})}^2$

$2\frac{x}{a}{e}^t=e^{2t}+1$

$\frac{x}{a}=\frac{e^t+e^{-t}}{2}.$

Quest'ultima relazione definisce il coseno iperbolico di $t,$ $\cosh t$.

$\cosh t=\frac{e^t+e^{-t}}{2}.$

Si definisce inoltre il seno iperbolico:

$\sinh t=\frac{y}{a}=\frac{\sqrt{x^2-a^2}}{a}=\sqrt{{\left(\frac{e^t+e^{-t}}{2}\right)}^2-1}=\sqrt{{\left(\frac{e^t-e^{-t}}{2}\right)}^2}=\frac{e^t-e^{-t}}{2}.$

L'argomento delle funzioni iperboliche è analogo a quello delle funzioni goniometriche se si considera che, nel caso della circonferenza, l'angolo, in radianti, è uguale al doppio dell'area del settore circolare diviso il raggio al quadrato:

$\theta =\frac{2S}{a^2}$

e

$\cos \theta =\frac{x}{a},\sin \theta =\frac{y}{a}.$