Delta-algebra

Template:U Template:F In matematica, una δ-algebra (pronunciata delta-algebra) su di un insieme $\mathrm{\Omega }$, è una famiglia di sottoinsiemi di $\mathrm{\Omega }$ che sia chiusa rispetto all'operazione di intersezione al più numerabile e di passaggio al complementare.

Definizione

Sia $\mathrm{\Omega }$ un insieme non vuoto, e sia $𝔊$ una famiglia di sottoinsiemi di $\mathrm{\Omega }$ (ovverosia, un sottoinsieme dell'insieme delle parti di $\mathrm{\Omega }$). Diremo che $𝔊$ è una δ-algebra su $\mathrm{\Omega }$ se:

1. L'insieme vuoto $\mathrm{\varnothing }$ appartiene ad $𝔊$: $\mathrm{\varnothing }\in 𝔊$.
2. Se un insieme $A$ è in $𝔊$, allora il suo complementare è in $𝔊$: $A\in 𝔉\Rightarrow A^c\in 𝔊$.
3. Se gli elementi $A_i$ di una famiglia numerabile di insiemi $\{A_i{\}}_{i\in \mathbb{N}}$ sono in $𝔊$, allora la loro intersezione è in $𝔊$: $A_i\in 𝔊,\mathrm{\forall }i\in \mathbb{N}\Rightarrow \bigcap _{i\in \mathbb{N}}{A}_i\in 𝔊$.

Equivalenza tra δ e σ-algebre

Si dimostra che il concetto di δ-algebra coincide con il concetto di σ-algebra. Infatti, sia $𝔊$ una δ-algebra su X. Per essere una σ-algebra deve essere chiusa rispetto al complementare e rispetto all'unione al più numerabile. La prima condizione è già soddisfatta, per la seconda. Sia $\{A_i{\}}_{i\in \mathbb{N}}$ una famiglia al più numerabile di insiemi della δ-algebra:

$\bigcup _{i\in \mathbb{N}}{A}_i={\left[\bigcap _{i\in \mathbb{N}}{A}_i^C\right]}^C$

avendo usato il teorema di De Morgan. Ora $A_i^C$ appartengono alla δ-algebra perché essa è chiusa rispetto al complementare. Essa è chiusa anche rispetto all'intersezione. Si conclude che è chiusa anche rispetto all'unione al più numerabile.