Decomposizione in frazioni parziali sui reali

La decomposizione in frazioni parziali è un metodo per trasformare il rapporto tra due polinomi di $x$, $P(x)/Q(x)$, dove $P(x)$ ha grado in $x$ minore del grado in $x$ di $Q(x)$, nella somma di più frazioni dette parziali. Per esempio

$\frac{3x+1}{x^2-1}=\frac{2}{x-1}+\frac{1}{x+1}$

oppure

$\frac{5x^2+2x+7}{x^3+x^2+x+1}=\frac{5}{x+1}+\frac{2}{x^2+1}$

in generale detti $q$ gli zeri di $Q(x)$ presi con la loro molteplicità e $u$ il grado di $Q(x)$ in $x$ allora

$\frac{P(x)}{Q(x)}=\frac{k_1}{x-q_1}+\frac{k_2}{x-q_2}+\frac{k_3}{x-q_3}+...+\frac{k_u}{x-q_u}$

dove i coefficienti $k$ sono le soluzioni dell'equazione

$P(x)=\sum _{n=1}^u\prod _{j=n}{k}_n(x-q_j)\mathrm{\forall }x$

È particolarmente interessante notare che la somma di tutti i coefficienti di ordine 1 deve essere pari a:

$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{\lim }x\frac{P(x)}{Q(x)}$

La decomposizione in frazioni parziali è molto utile per ricavare alcuni integrali indefiniti. Ad esempio per trovare l'integrale indefinito di $(x-3)/(x^2-1)$ si opera

$\underset{}{\int }\frac{x-3}{x^2-1}dx=\underset{}{\int }\frac{2}{x+1}dx-\underset{}{\int }\frac{1}{x-1}dx$

e quindi

$\underset{}{\int }\frac{x-3}{x^2-1}dx=2\ln (|x+1|)-\ln (|x-1|)+c$

Esempi

• $\frac{1}{x^2-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}$

Notiamo che, moltiplicando tutto per $x-1$, si ottiene:

$\frac{1}{x+1}=A+\frac{B(x-1)}{x+1}$

Dal momento che $A$ è una costante, essa avrà lo stesso valore per ogni $x$; in particolare, scegliendo $x=1$:

$\frac{1}{2}=A$

Allo stesso modo, moltiplicando tutto per $x+1$:

$\frac{1}{x-1}=\frac{A(x+1)}{x-1}+B$

e dunque, scelto $x=-1$:

$-\frac{1}{2}=B$

Quindi:

$\frac{1}{x^2-1}=\frac{1}{2}(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1})$

• $\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}$

Moltiplichiamo tutto per $x$ e valutiamo in $x=0$:

$1=A$

Allo stesso modo, moltiplichiamo tutto per $\frac{x^2+1}{x}$ e facciamo il limite per $x\to +\mathrm{\infty }$:

$B=-\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(A\frac{x^2+1}{x^2}+\frac{C}{x}-\frac{1}{x^2})=-1$

avendo usato il fatto che $A=1$. Infine, moltiplicando tutto per $x^2+1$ e facendo il limite per $x\to +\mathrm{\infty }$:

$C=-\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{\lim }(A\frac{x^2+1}{x}+Bx-\frac{1}{x})=0$

avendo usato il fatto che $A=1,B=-1$. In conclusione:

$\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{1}{x}-\frac{x}{x^2+1}$