Decisione ottimale

Il termine decisione ottimale è un importante concetto nella teoria delle decisioni e si riferisce alla decisione che porta al miglior risultato fra le alternative disponibili in quel momento. Al fine di paragonare i possibili esiti della scelta, normalmente si procede ad assegnare il grado di utilità relativa ad ogni possibile opzione decisionale; se sussiste un certo grado di incertezza sull'esito, la decisione ottimale massimizza l'utilità attesa, vale a dire il valore medio dell'utilità calcolato su tutti i possibili esiti.

Descrizione

A volte, in situazioni finanziarie, dove l'utilità viene definita in termini di risultato economico, si considera il problema di minimizzare la perdita.

Scelta tra ricchezza e gioventù, Jan Steen (1626 - 1679)

Il termine "utilità", in questo contesto, viene utilizzato in modo arbitrario in riferimento al grado di desiderabilità del risultato e non secondo il suo significato comune. Per esempio, per qualcuno può rappresentare una decisione ottimale acquistare un'auto sportiva invece di una station wagon, anche se il costo relativo è maggiore e la versatilità minore, poiché il criterio di valutazione per la decisione può essere diverso (es. effetto sull'immagine personale).

Il problema dell'identificazione della decisione ottimale è un problema di ottimizzazione. In pratica, poche persone verificano che la loro decisione sia stata quella ottimale, ma utilizzano il metodo euristico per arrivare a decisioni che sono "abbastanza buone", cioè soddisfacenti.

Se la decisione è sufficientemente importante, si può ricorrere ad un approccio più formale, soprattutto per motivare il tempo speso per analizzarla o quando, dato l'alto numero di possibilità decisionali, è troppo complessa per poter giungere alla scelta con un semplice approccio intuitivo.

Formalizzazione matematica

Ogni decisione $d$ in un set $D$ di decisioni disponibili porterà ad un esito $o=f(d)$. Tutti i possibili esiti formano il set $O$. Assegnando l'utilità $U_O(o)$ ad ogni esito, possiamo definire l'utilità di una certa decisione $d$ come: $U_D(d)=U_O(f(d))$

Una decisione ottimale $d_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}$ è quindi quella che massimizza $U_D(d)$ :

$d_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}=\arg \max {\mathrm{\backslash limits}}_{d\in D}{U}_D(d)$

La soluzione del problema può essere perciò divisa in tre passaggi:

1. predizione dell'esito $o$ per ogni decisione $d$
2. assegnazione dell'utilità $U_O(o)$ a ogni esito $o$
3. identificazione della decisione $d$ che massimizza $U_D(d)$

Incertezza riguardo all'esito

Se non è possibile predire con certezza l'esito di una particolare decisione, è necessario un approccio probabilistico, che si può esprimere, nella maggior parte dei casi, in questo modo:

Per una decisione data $d$, conosciamo la distribuzione probabile per i possibili esiti, descritta dalla distribuzione condizionata $p(o|d)$. Possiamo ora calcolare l'utilità attesa della decisione $d$ come

$U_D(d)=\int p(o|d)U(o)do$   dove l'integrale prende il posto dell'intero set $O$ (DeGroot, pp 121)

Una decisione ottimale $d_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}$ è quindi quella che rende massimo $U_D(d)$, proprio come mostrato sopra $d_{\mathrm{o}\mathrm{p}\mathrm{t}}=\arg \max {\mathrm{\backslash limits}}_{d\in D}{U}_D(d)$

Esempio

Il Problema di Monty Hall.

Bibliografia

• Morris DeGroot Optimal Statistical Decisions. McGraw-Hill. New York. 1970. ISBN 0-07-016242-5.
• James O. Berger Statistical Decision Theory and Bayesian Analysis. Second Edition. 1980. Springer Series in Statistics. ISBN 0-387-96098-8.

Voci correlate

• Decisione