Curva kappa

La curva kappa presenta due asintoti verticali.

In geometria la curva kappa o curva di Gutschoven è una curva algebrica bidimensionale che assomiglia alla lettera dell'alfabeto greco κ (kappa). I due rami della curva hanno nell'origine un punto di contatto detto tacnodo.

Mediante le coordinate cartesiane essa può essere individuata dall'equazione:

$x^4+x^2{y}^2=a^2{y}^2$

oppure dalle equazioni parametriche:

$\{\begin{array}{c}x=a\cos t\\ y=a\cos t\cot t\end{array}$

In coordinate polari essa è data da una funzione molto semplice:

$r=a\tan \theta$

Essa presenta due asintoti verticali dati dalle equazioni $x=\pm a$ (nel grafico sono segnati come linee a trattini blu).

La curvatura della curva kappa è:

$\kappa (\theta )=\frac{8(3-{\sin }^2\theta ){\sin }^4\theta }{a{[{\sin }^2(2\theta )+4]}^{3/2}}$

L'angolo della sua tangente nel suo punto individuato come funzione della coordinata angolare θ è espresso da:

$\varphi (\theta )=-\arctan [\frac{1}{2}\sin (2\theta )]$

Delle quartiche razionali, categoria alla quale appartiene appunto la curva kappa, fanno parte le cosiddette "quartiche piriformi", secondo la definizione del matematico francese Guy de Longchamps a fine Ottocento.

Nel carteggio tra de Sluse e Huygens viene citata una curva proposta da Gerard von Gutschoven (primo a studiarla nel 1662 circa e da questi prese il nome). Tra gli altri matematici famosi che si sono occupati di essa vi sono Isaac Newton e Johann Bernoulli. Le sue tangenti sono state calcolate per la prima volta da Isaac Barrow nel XVII secolo.

Collegamenti esterni

• Curva kappa in MacTutor
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