Costante di Mills

Template:Costante In matematica, si definisce costante di Mills il numero reale positivo $\theta$ tale che la funzione

$f(n)=\lfloor {\theta }^{3^n}\rfloor$

generi numeri primi per ogni n intero positivo, dove $\lfloor \theta \rfloor$ indica la funzione parte intera di $\theta$. L'esistenza di una costante di questo tipo è stata provata nel 1947 da Mills; il che lo portò ad enunciare il teorema di Mills.

Assumendo l'ipotesi di Riemann, il valore della costante, approssimato a 20 cifre decimali, è

$\theta \approx 1.30637788386308069046...,$

mentre i numeri primi generati dalla costante di Mills sono

$2,11,1361,2521008887...$

(Sequenza A051245 dell'OEIS), e sono chiamati primi di Mills.

Approssimazioni della costante di Mills

Non si conosce una formula chiusa per la costante di Mills, il che ne rende impossibile l'approssimazione a priori. Quel che è possibile fare è determinare la successione dei primi di Mills tramite una stima del valore della costante, e da questi ricavarne un valore maggiormente preciso.

Nel 2005 Chris Caldwell e Yuan-You Cheng trovarono però un metodo per calcolare circa 7000 cifre di $\theta$ (assumendo l'ipotesi di Riemann): partendo dalla successione dei primi di Mills (sopra menzionati), ricavati mediante una non definitiva approssimazione della costante, dimostrarono che è possibile calcolare i successivi primi della successione e tramite una generalizzazione del Teorema di Mills, anziché usando la costante di Mills. Calcolati così altri primi di Mills più grandi ($p_n$), è possibile approssimare più precisamente $\theta$, tramite la formula:

$\theta =\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\sqrt[3^n]{p_n}.$

Voci correlate

• Teorema di Mills
• Numero primo

Collegamenti esterni

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