Costante di Legendre

La costante di Legendre è una costante matematica che appare nella formulazione di Legendre del teorema dei numeri primi. Essa è definita come

$B=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\ln (n)-\frac{n}{\pi (n)},$

dove $\pi (x)$ è il numero dei primi inferiori a $x$.

Il valore effettivo della costante è stato oggetto di numerosi studi; è stato infine dimostrato da Charles Jean de la Vallée-Poussin che essa vale 1, per cui il suo utilizzo riveste ad oggi unicamente un valore storico.

Legendre aveva congetturato nel 1796 che π(x) è asintotico a

$\pi (x)\sim \frac{x}{\ln (x)-B},$

ove B è una qualunque numero reale, ipotizzando inoltre che, tra tutte le possibili scelte di b, la migliore approssimazione è quella che si ottiene scegliendo B = 1,08366. Tuttavia, la dimostrazione del Teorema dei numeri primi (con la stima del termine d'errore) provata da de la Vallée-Poussin nel 1899, implica che la migliore approssimazione si ottiene con B = 1, contrariamente a quanto predetto da Legendre.

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