Costante di Gauss-Kuzmin-Wirsing

Template:Costante La costante Gauss-Kuzmin-Wirsing (il nome deriva dai matematici Carl Gauss, Rodion Osievich Kuzmin e Eduard Wirsing) è una costante matematica che si incontra in combinatoria ed è importante nello studio dell'efficienza dell'algoritmo euclideo per il calcolo del massimo comune divisore. Non è noto se sia irrazionale. È legata alla funzione Zeta di Riemann.

Definizione

Sia G l'operatore Gauss-Kuzmin-Wirsing, cioè:

$[Gf](x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{(x+n{)}^2}f\left(\frac{1}{x+n}\right).$

L'autovalore maggiore in valore assoluto è 1 e corrisponde alla funzione:

$\frac{\ln 2}{1+x}.$

Il secondo autovalore è la costante di Gauss-Kuzmin-Wirsing e vale all'incirca:

$\lambda =0,30366300289...$

Eduard Wirsing ha mostrato che, se $F_n(x)$ è la distribuzione Gauss-Kuzmin, allora:

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{\lim }\frac{F_n(x)-\ln (1-x)}{(-\lambda {)}^n}=\mathrm{\Psi }(x),$

dove $\mathrm{\Psi }(x)$ è una funzione analitica tale che $\mathrm{\Psi }(0)=\mathrm{\Psi }(1)=0$.

Relazione con la funzione Zeta di Riemann

L'operatore GKW è legato alla funzione Zeta di Riemann. La funzione Zeta di Riemann può essere scritta così:

$\zeta (s)=\frac{1}{s-1}-s\underset{0}{\overset{1}{\int }}h(x)x^{s-1}dx$

questo implica che:

$\zeta (s)=\frac{s}{s-1}-s\underset{0}{\overset{1}{\int }}dxx\left[G{x}^{s-1}\right]$

dopo un cambio di variabile.

Voci correlate

• Distribuzione Gauss-Kuzmin
• Operatore Gauss-Kuzmin-Wirsing

Collegamenti esterni

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