Costante di Erdős-Borwein

Template:Costante La costante di Erdős-Borwein E è la somma dei reciproci dei numeri di Mersenne. Prende il nome da Paul Erdős e da Peter Borwein.

Per definizione è:

$E_B=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n-1}\approx 1,606695152415291763...$

Si dimostra che le forme seguenti sono equivalenti alla precedente:

$E=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{n^2}}\frac{2^n+1}{2^n-1}$

$E=\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^{mn}}$

$E=1+\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^n(2^n-1)}$

$E=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{{\sigma }_0(n)}{2^n}$

dove ${\sigma }_0(n)=d(n)$ è la funzione divisore di parametro 0, che ha lo scopo di contare il numero di divisori del numero $n$. Per provare l'equivalenza di queste somme si sfrutta il fatto che hanno tutte la forma di una serie di Lambert.

Erdős nel 1948 ha dimostrato che la costante E è un numero irrazionale.

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