Coordinate ellittiche

Coordinate ellittiche

Le coordinate ellittiche sono coordinate curvilinee ortogonali per lo spazio vettoriale tridimensionale. Esse vengono definite facendo riferimento a due punti localizzati mediante terne coordinate cartesiane come A=(0,0,-a) e B=(0,0,a). Per definirle si fa riferimento alla distanza R = 2a e alle due distanze del generico punto P dai punti A e B che denotiamo rispettivamente con r_A e r_B. Adottiamo quindi le coordinate

$\mu :=\frac{r_A+r_B}{R}$

$\nu :=\frac{r_A-r_B}{R}$

$\varphi$ angolo formato dal piano PAB con il piano y = 0

Queste coordinate hanno i seguenti campi di variabilità

$1\le \mu <+\mathrm{\infty }-1\le \nu \le +10\le \varphi <2\pi$ .

Le espressioni delle coordinate cartesiane a partire dalle ellittiche sono

$x=a\sqrt{({\mu }^2-1)(1-{\nu }^2)}\cos \varphi$

$y=a\sqrt{({\mu }^2-1)(1-{\nu }^2)}\sin \varphi$

$z=a\mu \nu$ .

Le superfici relative a valori fissati di μ sono ellissoidi di rotazione aventi i fuochi in A e B, quelle relative a valori fissati di ν sono iperboloidi di rotazione aventi i fuochi in A e B e le superfici relative a valori fissati di φ sono semipiani definiti dall'asse delle z.

Per il volume infinitesimale si ha

$dV=a^3({\mu }^2-{\nu }^2)d\mu d\nu d\varphi$ .

Per l'operatore di Laplace

${\mathrm{\nabla }}^2=\frac{1}{a^2({\mu }^2-{\nu }^2)}\cdot$

$\{\frac{\partial }{\partial \mu }[({\mu }^2-1)\frac{\partial }{\partial \mu }]+\frac{\partial }{\partial \nu }[(1-{\nu }^2)\frac{\partial }{\partial \nu }]+\frac{{\mu }^2-{\nu }^2}{({\mu }^2-1)(1-{\nu }^2)}\frac{{\partial }^2}{\partial {\varphi }^2}\}$

Le coordinate ellittiche risultano vantaggiose per lo studio di sistemi fisici che presentano due corpi puntiformi che si mantengono a distanza costante (2a). In particolare esse facilitano la trattazione quantistica dello ione H₂⁺.

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