Congettura di Erdős-Straus

La congettura di Erdős-Straus afferma che per ogni intero $n\ge 2$, il numero razionale 4/n si può scrivere come somma di tre frazioni unitarie, ossia esistono tre interi positivi $a$, $b$ e $c$ tali che

$\frac{4}{n}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}$

La somma di queste frazioni unitarie è una rappresentazione come frazione egiziana del numero 4/n. Ad esempio, per n = 1801, esiste una soluzione con x = 451, y = 295364 e z = 3249004:

$\frac{4}{1801}=\frac{1}{451}+\frac{1}{295364}+\frac{1}{3249004}.$

Moltiplicando entrambi i membri dell'equazione per nxyz si trova la l'equazione diofantea equivalente 4xyz=n(xy+xz+yz). La restrizione di x, y, e z ai numeri positivi è cruciale per la difficoltà del problema, dal momento che, se i valori negativi fossero ammessi, il problema potrebbe essere risolto banalmente da una delle due identità 4/(4k+1) = 1/k - 1/k(4k+1) e 4/(4k-1) = 1/k + 1/k(4k-1).

Se n è un numero composto, n = pq, allora si potrebbe trovare immediatamente una soluzione come somma di frazioni egiziane per 4/n dalla soluzione per 4/p o per 4/q. Pertanto, se esistono controesempi alla congettura di Erdős–Straus, il più piccolo deve necessariamente essere un numero primo.

Paul Erdős e Ernst G. Straus formularono la congettura nel 1948 (vedi, ad esempio, Elsholtz) ma il primo riferimento divulgato sembra essere una pubblicazione di Erdős del 1950.

Verifica

La congettura di Erdős-Straus è stata verificata da Swett (attraverso tecniche di forza bruta e sfruttando identità simili a quella indicata sotto) per ogni $n$ fino a $10^{14}$.

Alcune classi di numeri possono essere verificate immediatamente attraverso delle identità algebriche. Ad esempio:

$\frac{4}{(2+3x)}=\frac{1}{2+3x}+\frac{1}{1+x}+\frac{1}{(1+x)(2+3x)}$

che implica che, per ogni $n\equiv 2(\mathrm{mod}3)$, il primo membro si può rappresentare come somma di tre frazioni unitarie.

Bibliografia

• Richard K. Guy, Unsolved Problems in Number Theory, 2nd ed, Springer-Verlag, New York, 1994, ISBN 0387208607, §D11
• L. J. Mordell, Diophantine Equations (1969)
• L. A. Rosati, Sull'equazione diofantea 4/n = 1/x₁ + 1/x₂ + 1/x₃, Boll. Un. Mat. Ital. (3) 9(1954) 59-63; MR 15, 684

Voci correlate

• Equazione diofantea
• Frazione egiziana

Collegamenti esterni

• Il sito web di Swett Template:Webarchive con informazioni sulla verifica della congettura
• Erdos-Straus Conjecture - La pagina di MathWorld sulla congettura.