Condizione di Samuelson

La condizione di Samuelson, formulata da Paul Samuelson, dice che una produzione ottimale di bene pubblico puro esige un'uguaglianza tra la somma dei tassi marginali di sostituzione e il tasso marginale di trasformazione dei prodotti.

Formalizzazione matematica

Sia $q_o$ il bene pubblico e $q_j$ ($j=1,2,\dots ,m$) i beni privati. La funzione di produzione sotto forma implicita è data dall'espressione seguente: $\phi ({\hat{q}}_o,{\hat{q}}_1,{\hat{q}}_2,\dots ,{\hat{q}}_m)=0$ dove ${\hat{q}}_j$ è la quantità prodotta del bene j.

Le funzioni di utilità sono:

$u_i(q_o,q_{i1},q_{i2},\dots ,q_{im})i=1,2,\dots ,h$

dove $q_{ij}$ è la quantità del bene j consumata dall'individuo i. Non c'è l'indice i per il bene pubblico poiché la quantità consumata è la stessa per tutti gli individui. La quantità consumata dei beni privati dipende invece dalle preferenze e dal reddito di ogni individuo.

Un ottimo paretiano può essere ottenuto massimizzando l'utilità del primo consumatore sotto i vincoli esistenti tra produzione e consumo. La lagrangiana è:

$L=u_1(q_o,q_{11},q_{12},\dots ,q_{1m})+\sum _{i=2}^h{\lambda }_i(u_i-u_i^o)+\sigma \phi ({\hat{q}}_o,{\hat{q}}_1,\dots ,{\hat{q}}_m)+{\mu }_o(q_o^o+{\hat{q}}_o-q_o)+\sum _{j=1}^m{\mu }_j(q_j^o+{\hat{q}}_j-\sum _{\alpha =1}^h{q}_{\alpha j})$

dove ${\lambda }_i,\sigma ,{\mu }_j$ sono i moltiplicatori di Lagrange e $q_j^o$ lo stock del bene j.

Le condizioni di primo ordine sono:

$(1)\frac{\partial L}{\partial q_o}=\sum _{\alpha =1}^h{\lambda }_{\alpha }\frac{\partial u_{\alpha }}{\partial q_o}-{\mu }_o=0({\lambda }_1=1)$

$(2)\frac{\partial L}{\partial q_{\alpha j}}={\lambda }_{\alpha }\frac{\partial u_{\alpha }}{\partial q_{\alpha j}}-{\mu }_j=0\alpha =1,2,\dots ,h;j=1,2,\dots ,m$

$(3)\frac{\partial L}{\partial {\hat{q}}_s}=\sigma \frac{\partial \phi }{\partial {\hat{q}}_s}+{\mu }_s=0s=0,1,\dots ,m$

$(4)\frac{\partial L}{\partial {\lambda }_i}=u_i-u_i^o=0i=2,3,\dots ,h$

$(5)\frac{\partial L}{\partial \sigma }=\phi ({\hat{q}}_o,{\hat{q}}_1,{\hat{q}}_2,\dots ,{\hat{q}}_m)=0$

$(6)\frac{\partial L}{\partial {\mu }_o}=q_o^o+{\hat{q}}_o-q_o=0$

$(7)\frac{\partial L}{\partial {\mu }_j}=q_j^o+{\hat{q}}_j-\sum _{\alpha =1}^h{q}_{\alpha j}=0$

Eliminando i moltiplicatori di Lagrange si ottiene:

$\sum _{\alpha =1}^h\frac{\frac{\partial u_{\alpha }}{\partial q_o}}{\frac{\partial u_{\alpha }}{\partial q_{\alpha j}}}=\frac{{\phi }_o}{{\phi }_j}$

$\frac{\frac{\partial u_{\alpha }}{\partial q_{\alpha j}}}{\frac{\partial u_{\alpha }}{\partial q_{\alpha s}}}=\frac{{\phi }_j}{{\phi }_s}$

Prendendo le trè quantità consumate $q_o$, $q_j$ e $q_s$, si può scrivere:

$\sum _{\alpha =1}^{h}TM{S}_{oj}^{\alpha }=TT{P}_{oj}$

$TM{S}_{js}^{\alpha }=TT{P}_{js}$

La seconda relazione, relativa ai beni privati j e s, è identica a quella ottenuta nell'ottimo paretiano classico. I tassi marginali di sostituzione (TMS) devono essere uguali ai tassi marginali di trasformazione dei prodotti (TTP). La prima relazione è la condizione di ottimalità per il bene pubblico. La somma dei tassi marginali di sostituzione (tra il bene pubblico e un qualunque bene privato) di tutti i consumatori deve essere uguali al tasso marginale di trasformazione dei prodotti.

Bibliografia

• Michael Pickhardt: Fifty Years after Samuelson's The Pure Theory of Public Expenditure: What are we Left With? In: Journal of the History of Economic Thought. 28, Nr. 4, 2006, pp. 439–460.
• Agnar Sandmo: Public Goods. In: Steven N. Durlauf and Lawrence E. Blume (Eds.): The New Palgrave Dictionary of Economics. Palgrave Macmillan, Internet http://www.dictionaryofeconomics.com/article?id=pde2008_P000245&edition=current#sec1 (Online-edition).
• Paul Samuelson: The Pure Theory of Public Expenditure. In: The Review of Economics and Statistics. 36, Nr. 4, 1954, pp. 387–389.

Voci correlate

• Beni pubblici