Coefficiente di determinazione

Template:S In statistica, il coefficiente di determinazione, più comunemente R², è un indice che misura il legame tra la variabilità dei dati e la correttezza del modello statistico utilizzato. Intuitivamente, esso è legato alla frazione della varianza non spiegata dal modello.

Definizione

La definizione più generale è la seguente:

$R^2=1-\frac{RSS}{TSS},$

con $RSS$ devianza residua (Residual Sum of Squares):

$RSS=\sum _{i=1}^n{e}_i^2=\sum _{i=1}^n(y_i-{\hat{y}}_i{)}^2$

$TSS$ devianza totale (Total Sum of Squares):

$TSS=\sum _{i=1}^n(y_i-\bar{y}{)}^2$

dove:

${\hat{y}}_i$ sono i dati stimati dal modello,

$y_i$ sono i dati osservati,

$\bar{y}=\frac{1}{n}\sum _{i=1}^n{y}_i$ è la media dei dati osservati.

Adjusted R²

LTemplate:'adjusted $R^2$ (o $\overline{R^2}$) (meglio conosciuto in Italiano come $R^2$ corretto o aggiustato) è una variante dell' $R^2$ semplice.

Mentre $R^2$ semplice è utilizzato per l'analisi di regressione lineare semplice come principale indice di bontà della curva di regressione, $R^2$ corretto viene utilizzato per l'analisi di regressione lineare multipla. Esso serve a misurare la frazione di devianza spiegata, cioè la proporzione di variabilità di $Y$ "spiegata" dalla variabile esplicativa $X$. All'aumentare del numero di variabili esplicative (o predittori) $X$, aumenta anche il valore di $R^2$, per cui spesso è utilizzato al suo posto $\overline{R^2}$, che serve a misurare la frazione di varianza spiegata.

Il coefficiente ${\overline{R}}^2$ può essere negativo e vale sempre la disuguaglianza ${\overline{R}}^2\le R^2$.

${\overline{R}}^2=1-\frac{n-1}{n-k-1}\cdot \frac{RSS}{TSS},$

dove:

• $n$ è il numero delle osservazioni;
• $k$ è il numero dei regressori.

R² e Correlazione lineare

Se si ha a disposizione la correlazione tra due variabili discrete, ${\rho }_{X,Y}$, (o indice di correlazione di Pearson) si può determinare il coefficiente di determinazione, elevando semplicemente al quadrato la correlazione. Viceversa, se si ha a disposizione $R^2$, si può determinare la correlazione, facendo la radice quadrata.

$R^2={\rho }_{X,Y}^2\iff {\rho }_{X,Y}=\sqrt{R^2}$

dove:

• ${\rho }_{X,Y}$ è la correlazione tra le variabili $X$ e $Y$, ottenibile dividendo la covarianza tra le due variabili e il prodotto dei loro scarti quadratici medi ${\rho }_{X,Y}=\left(\frac{{\sigma }_{X,Y}}{{\sigma }_X\cdot {\sigma }_Y}\right)$.

La formula empirica di questo modello è il seguente:

$R^2=\frac{ESS}{TSS},$

dove $ESS=\sum _{i=1}^n({\hat{y}}_i-\bar{y}{)}^2$ è la devianza spiegata dal modello (Explained Sum of Squares). Questa definizione è possibile poiché, per regressioni lineari semplici, la devianza può essere scomposta come $ESS=TSS-RSS$.

R² varia tra $-\mathrm{\infty }$ e 1: quando è 0 il modello utilizzato offre una spiegazione dei dati non migliore del valore medio ($RSS=TSS$); quando è 1 il modello spiega perfettamente i dati. Un modello peggiore della media ($RSS>TSS$) ha coefficiente $R^2$ minore di 0.

Interpretazione

Se $R^2$ o $\overline{R^2}$ sono prossimi a 1, significa che i regressori predicono bene il valore della variabile dipendente in campione; mentre se è uguale a 0, significa che non lo fanno.

I coefficienti $R^2$ e $\overline{R^2}$ non dicono se:

1. una variabile sia statisticamente significativa;
2. i regressori sono causa effettiva dei movimenti della variabile dipendente;
3. c'è una distorsione da variabile omessa;
4. è stato scelto il gruppo dei regressori più appropriato.

Bibliografia

• Template:Cita libro 9788871922676
• Draper, N.R. and Smith, H. (1998). Applied Regression Analysis. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-17082-8
• Everitt, B.S. (2002). Cambridge Dictionary of Statistics (2nd Edition). CUP. ISBN 0-521-81099-X
• Nagelkerke, Nico J.D. (1992) Maximum Likelihood Estimation of Functional Relationships, Pays-Bas, Lecture Notes in Statistics, Volume 69, 110p ISBN 0-387-97721-X
• Luigi Fabbris, Statistica multivariata (analisi esplorativa dei dati). 1997, McGrawHill. ISBN 88-386-0765-6

Collegamenti esterni

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