Classe monotona

Sia $𝒳$ un insieme e sia $𝒞$ un sottoinsieme dell'insieme delle parti di $𝒳$, $𝒫\mathcal{(}𝒳\mathcal{)}$. Allora $𝒞$ si dice classe monotona se:

• $\{A_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}\subseteq 𝒞$ e $A_n\uparrow A\Rightarrow A\in 𝒞$,
• $\{A_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}\subseteq 𝒞$ e $A_n\downarrow A\Rightarrow A\in 𝒞$.

Si noti che l'intersezione di un'arbitraria famiglia di classi monotone è ancora una classe monotona.
Se $ℰ\subset 𝒫\mathcal{(}𝒳\mathcal{)}$, l'intersezione di tutte le classi monotone contenenti $ℰ$ si dice classe monotona generata da $ℰ$.

Lemma della classe monotona

Risultato importante è il cosiddetto Lemma della classe monotona, il quale afferma che:
Sia $𝒳$ un'algebra, allora la classe monotona generata da $𝒳$ coincide con la sigma-algebra( o σ-algebra) generata da $𝒳$.

Voci correlate

• Lemma di Dynkin
• Sigma-algebra
• Teorema di Fubini