Circumconica

In geometria, una circumconica è una sezione conica che passa per i vertici di un triangolo, e sottostà a determinate caratteristiche; essa può essere una circumparabola, una circumiperbole o una circumellisse, che rappresentano generalmente delle classi e non una conica ben precisa, mentre è unico invece il caso più classico di circumconica che è il circumcerchio.

Caratteristiche generali

Ogni circumconica, ha una equazione trilineare del tipo

$\frac{x}{\alpha }+\frac{y}{\beta }+\frac{z}{\gamma }=0$

Dove x, y e z rappresentano delle funzioni delle lunghezze dei lati e concorrono a individuare le coordinate trilineari del centro della circumconica nel seguente modo

x(-ax + by + cz) : y() : z(ax + by - cz)

Le tangenti invece nei vertici hanno equazioni:

by + cz = 0, di A

ax + cz = 0, di B

ax + by = 0 di C

Il coniugato isogonale di una qualsiasi di queste coniche è una specifica retta, dalla funzione

$x\alpha +y\beta +z\gamma =0$

che:

• non tocca il circumcerchio se la circumconica è una ellisse
• lo tange in un punto se è una parabola
• lo interseca se è una iperbole.

Circumellisse

La circumellisse dunque è una ellisse che passa per tutti e i vertici di un triangolo. La sua area può essere calcolata come segue:

$A=\frac{2\pi abcxyz}{\sqrt{[2(abxy+bcyz+acxz)-(a^2{x}^2+b^2{y}^2{c}^2{z}^2){]}^3}}$

oppure se si conoscono le lunghezze delle corde d^a d^b d^c, ovvero le corde passanti per il centro dell'ellisse e parallele al rispettivo lato a, b o c. può essere calcolata come segue.

$A=\frac{\pi d_a{d}_b{d}_c}{8R}$

ove R è il circumraggio.

Voci correlate

• Sezione conica
• Inconica

Collegamenti esterni

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