Bozza:Matrice delle trasposizioni

Template:Richiesta revisione bozza Template:Bozza La matrice delle trasposizioni Tr(X) è una matrice quadrata di dimensione n pari a una potenza intera di 2, ogni elemento della quale Tr(X)ij contiene uno degli elementi {x} di un dato vettore X di dimensione n il cui indice è pari a uno più la moltiplicazione binaria esclusiva OR (XOR) del numero di riga i meno uno e del numero di colonna j meno uno dell'elemento Tr(X)ij.

Formula

La formula con cui si calcolano gli elementi della matrice Tr(x) è quindi la seguente: $Tr(X{)}_{i,j}=x_{1+(i-1)\oplus (j-1)}$ dove $i,jin[1,n]$ e il simbolo $\oplus$ rappresenta l'operazione Disgiunzione esclusiva (XOR)

Ad esempio, la matrice delle trasposizioni $Tr(X)$ ottenuta da un vettore

$X=\left(\begin{array}{c}{x}_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7,x_8\end{array}\right)$

ha la forma seguente:

$Tr(X)=\left(\begin{array}{ccccccccc}{x}_1& x_2& x_3& x_4& |& x_5& x_6& x_7& x_8\\ x_2& x_1& x_4& x_3& |& x_6& x_5& x_8& x_7\\ x_3& x_4& x_1& x_2& |& x_7& x_8& x_5& x_6\\ x_4& x_3& x_2& x_1& |& x_8& x_7& x_6& x_5\\ -& -& -& -& |& -& -& -& -\\ x_5& x_6& x_7& x_8& |& x_1& x_2& x_3& x_4\\ x_6& x_5& x_8& x_7& |& x_2& x_1& x_4& x_3\\ x_7& x_8& x_5& x_6& |& x_3& x_4& x_1& x_2\\ x_8& x_7& x_6& x_5& |& x_4& x_3& x_2& x_1\end{array}\right)$.

La proprietà delle quadruple

Una coppia arbitraria di righe (o di colonne) di una matrice di trasposizione Tr contiene $n/2$ quadrupli di elementi con valori uguali degli elementi diagonali. Ad esempio, se $T{r}_{p,q}$ e $T{r}_{u,q}$ sono due elementi scelti a caso dalla stessa colonna $q$ della matrice $Tr$, allora da questa proprietà segue che $Tr$ la matrice contiene una quadrupla di elementi $(T{r}_{p,q},T{r}_{u,q},T{r}_{p,v},T{r}_{u,v})$, per i quali sono soddisfatte le equazioni $T{r}_{p,q}=T{r}_{u,v}$ e $T{r}_{u,q}=T{r}_{p,v}$. Questa “proprietà delle quadruple “ è specifica delle matrici $Tr$.

Altre proprietà

• La matrice $Tr$ е una matrice simmetrica.
• La matrice $Tr$ е una matrice persimmetrica, cioè è anche simmetrica intorno a la sua seconda diagonale.

Matrice delle trasposizioni le cui righe sono reciprocamente ortogonali

La proprietà delle quadruple ci permette di ottenere da una matrice di trasposizioni $Tr$ una matrice le cui righe sono reciprocamente ortogonali $Trs$ cambiando il segno di un numero dispari di elementi in ciascuna delle quadruple $(T{r}_{p,q},T{r}_{u,q},T{r}_{p,v},T{r}_{u,v})$, $p,q,u,vin[1,n]$. Esiste un algoritmo per costruire $Trs$ una matrice utilizzando il prodotto di Hadamard della matrice $Tr$ e una matrice di Hadamar con n-dimensionale $H=(h_{ij})$ le cui righe (ad eccezione della prima) sono riordinate in modo che le righe della matrice risultante $Trs$ siano reciprocamente ortogonali tra loro:

$Trs(X)=Tr(X)\circ H(R)$

$Trs.{Trs}^T=\parallel X{\parallel }^2.I_n$

dove:

“$\circ$” è il prodotto di Hadamard,

$I_n$ è una matrice unitaria,

$H(R)$ è una matrice di Hadamard n-dimensionale con permutazione delle righe $R=[1,r_2,...r_n{]}^T,r_2,...r_{n}in[2,n]$ cambia il segno di un numero dispari di elementi in ciascuno dei quadrupli;

$X$ è il vettore i cui elementi sono derivati dalla matrice $Tr$.

L'ordine di riga $R$ della matrice di Hadamard è stato ottenuto sperimentalmente per matrici $Trs$ di dimensioni 2, 4 e 8. L'ordine di riga $R$ della matrice di Hadamar (rispetto alla matrice di Sylvester-Adamar) non dipende dal vettore $X$. È stato dimostrato che, se $X$ è un vettore unitario ($||X||=1$), allora $det(Trs)=-1$ .

Esempio di come ottenere la matrice Trs

La matrice delle trasposizioni con righe mutuamente ortogonali $Trs(X)$ per $n=4$ è ottenuta dal vettore $X=[x_1,x_2,x_3,x_4{]}^T$ con la seguente formula:

$Trs(X)=H(R)\circ Tr(X)=\left(\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\\ 1& -1& 1& -1\\ 1& -1& -1& 1\\ 1& 1& -1& -1\end{array}\right)\circ \left(\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& x_3& x_4\\ x_2& x_1& x_4& x_3\\ x_3& x_4& x_1& x_2\\ x_4& x_3& x_2& x_1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{x}_1& x_2& x_3& x_4\\ x_2& -x_1& x_4& -x_3\\ x_3& -x_4& -x_1& x_2\\ x_4& x_3& -x_2& -x_1\end{array}\right)$,

dove $Tr(X)$ - $Tr$ è la matrice ottenuta dal vettore $X$, H(R) è una matrice Hadamar le cui righe sono spostate nel ordine dato R, per cui le righe delle matrici risultanti Trs sono reciprocamente ortogonali. La prima riga della matrice $Trs(X)$ risultante contiene gli elementi del vettore vettore $X$ senza permutazioni o cambiamenti di segno. Dato il fatto che le righe della matrice $Trs$ sono reciprocamente ortogonali:

$Trs(X).X=\parallel X{\parallel }^2.[1,0,0,0{]}^T$,

la matrice $Trs$ ruota quindi il vettore $X$, da cui ha origine, in direzione del vettore $X$. origine, nella direzione dell'asse $x_1$. L'ordine $R$ delle righe della matrice di Hadamar non dipende dal vettore $X$. Esempi di generazione delle matrici $Tr$ e $Trs$ per $n=2,4,8$ sono stati pubblicati. Rimane aperta la questione aperta se sia possibile generare matrici Trs di dimensione superiore a 8.

Note e riferimenti

1. Template:Ouvrage

|titre=Hadamard matrices of the Williamson type |journal=Math. Comp. | année=1965 | volume=19 | numéro=91 | pages=442–447 |doi=10.1090/S0025-5718-1965-0179093-2 |mr=0179093| accès doi=libre }}

1. Template:Ouvrage

Collegamenti esterni

• Template:En Linear Algebra Toolkit.
• Template:En Rob Beezer, A First Course in Linear Algebra, sous licence GFDL
• Template:En Jim Hefferon, Linear Algebra
• Template:En Marie A. Vitulli, A Brief History of Linear Algebra and Matrix Theory
• http://article.sapub.org/10.5923.j.ajcam.20190904.03.html