Azione di monodromia

In topologia, l'azione di monodromia è un'azione del gruppo fondamentale di uno spazio topologico sulla fibra dei suoi punti tramite un rivestimento.

Definizione

Nel seguito supporremo che $X$ sia uno spazio topologico connesso per archi, e che ${\pi }_1(X,x_0)$ sia il suo gruppo fondamentale una volta fissato un elemento (e quindi una puntatura) $x_0\in X$.

Sia $p:E\to X$ un rivestimento, e sia $F=p^{-1}(x_0)$ la fibra di un punto $x_0\in X$. Allora, prendendo proprio $x_0$ come puntatura, è definita un'azione (destra) di gruppo

$𝔪:F\times {\pi }_1(X,x_0)⟶F$

$(\tilde{x},[\gamma ])⟼\tilde{x}\cdot [\gamma ]={\tilde{\gamma }}_{\tilde{x}}(1)$

dove ${\tilde{\gamma }}_{\tilde{x}}:[0,1]\to E$ è il sollevamento (unico) del cammino $\gamma :[0,1]\to X$ tale che ${\tilde{\gamma }}_{\tilde{x}}(0)=\tilde{x}$.

Bibliografia

• M. Manetti, Topologia, Springer.