Autodecomposizione

Template:O In algebra lineare, lTemplate:'autodecomposizione è la fattorizzazione di una matrice in una forma canonica, per cui la matrice è rappresentata in funzione dei suoi autovalori e autovettori . Solo le matrici diagonalizzabili possono essere fattorizzate in questo modo. Quando la matrice da fattorizzare è una matrice normale o reale simmetrica, l'autodecomposizione è detta "decomposizione spettrale", (riferimento al teorema spettrale).

Autodecomposizione di una matrice

Sia A una matrice quadrata n × n con n autovettori linearmente indipendenti $q_i$ (dove i = 1, ..., n ). Allora A può essere fattorizzata come

$𝐀=𝐐\mathrm{\Lambda }{𝐐}^{-1}$

dove Q è la matrice n × n la cui i-esima colonna è l'autovettore qi di A, e Λ è la matrice diagonale i cui elementi diagonali sono i corrispondenti autovalori, Λii = λ i . Si noti che solo le matrici diagonalizzabili possono essere fattorizzate in questo modo. Ad esempio, la matrice difettosa $\left[\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& 1\end{array}\right]$ (che è una matrice di taglio ) non può essere diagonalizzata.

Gli n autovettori qi sono generalmente normalizzati, ma non è necessario che lo siano. Un insieme non normalizzato di n autovettori, vi può anche essere usato come colonne di Q . Ciò può essere compreso osservando che la grandezza degli autovettori in Q viene annullata nella scomposizione dalla presenza di Q −1 .

La scomposizione può essere derivata dalla proprietà fondamentale degli autovettori:

$\begin{array}{cc}𝐀𝐯& =\lambda 𝐯\\ 𝐀𝐐& =𝐐\mathrm{\Lambda }\\ 𝐀& =𝐐\mathrm{\Lambda }{𝐐}^{-1}.\end{array}$

Esempio

La matrice reale 2 × 2 A

$𝐀=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 3\end{array}\right]$

può essere scomposta in una matrice diagonale attraverso la moltiplicazione di una matrice non singolare B

$𝐁=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\in {ℝ}^{2\times 2}.$

Quindi

${\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}x& 0\\ 0& y\end{array}\right],$

per qualche matrice diagonale reale $\left[\begin{array}{cc}x& 0\\ 0& y\end{array}\right]$ .

Moltiplicando entrambi i membri dell'equazione a sinistra per B :

$\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}x& 0\\ 0& y\end{array}\right].$

L'equazione di cui sopra può essere scomposta in due equazioni simultanee :

$\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}ax\\ cx\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}by\\ dy\end{array}\right]\end{array}.$

Scomponendo gli autovalori x e y :

$\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]=x\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]=y\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]\end{array}$

lasciando

$𝐚=\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right],𝐛=\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right],$

questo ci dà due equazioni vettoriali:

$\{\begin{array}{c}𝐀𝐚=x𝐚\\ 𝐀𝐛=y𝐛\end{array}$

E può essere rappresentato da una singola equazione vettoriale che coinvolge due soluzioni come autovalori:

$𝐀𝐮=\lambda 𝐮$

dove λ rappresenta i due autovalori x e y, e u rappresenta i vettori a e b .

Spostando λ u per il lato sinistro e factoring u fuori

$(𝐀-\lambda 𝐈)𝐮=\mathrm{𝟎}$

Poiché B è non singolare, è essenziale che u sia diverso da zero. Perciò,

$\det (𝐀-\lambda 𝐈)=0$

così

$(1-\lambda )(3-\lambda )=0$

dandoci le soluzioni degli autovalori per la matrice A come λ = 1 o λ = 3, e la matrice diagonale risultante dall'autodecomposizione di A è quindi $\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 3\end{array}\right]$ .

Rimettendo le soluzioni nelle equazioni simultanee di cui sopra

$\{\begin{array}{c}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]=1\left[\begin{array}{c}a\\ c\end{array}\right]\\ \left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]=3\left[\begin{array}{c}b\\ d\end{array}\right]\end{array}$

Risolvendo le equazioni, abbiamo

$a=-2c\text{and}b=0,c,d\in ℝ.$

Quindi la matrice B richiesta per l'autodecomposizione di A è

$𝐁=\left[\begin{array}{cc}-2c& 0\\ c& d\end{array}\right],c,d\in ℝ,$

cioè:

${\left[\begin{array}{cc}-2c& 0\\ c& d\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 1& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-2c& 0\\ c& d\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 3\end{array}\right],c,d\in ℝ$

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni