Autocovarianza

In teoria della probabilità e statistica, dato un processo stocastico $X=(X_t)$, lTemplate:'autocovarianza è una funzione che dà la covarianza del processo con se stesso a coppie di punti temporali. Con la notazione usuale E  par l'operatore di aspettazione, se il processo ha la funzione di media ${\mu }_t=E[X_t]$, allora l'autocovarianza è data da

$C_{XX}(t,s)=cov(X_t,X_s)=E[(X_t-{\mu }_t)(X_s-{\mu }_s)]=E[X_t{X}_s]-{\mu }_t{\mu }_s.$

L'autocovarianza è correlata alla più comunemente usata autocorrelazione del processo in questione.

Nel caso di un vettore casuale multivariato $X=(X_1,X_2,...,X_n)$, l'autocovarianza diviene una matrice quadrata n per n, $C_{XX}$, con l'elemento $i,j$ dato da $C_{X_i{X}_j}(t,s)=cov(X_{i,t},X_{j,s})$ e comunemente indicata come matrice delle autocovarianze associata con i vettori $X_t$ e $X_s$.

Stazionarietà debole

Se X(t) è un processo debolmente stazionario, allora sono vere le seguenti uguaglianze:

${\mu }_t={\mu }_s=\mu$ per ogni t, s

e

$C_{XX}(t,s)=C_{XX}(s-t)=C_{XX}(\tau )$

dove $\tau =|s-t|$ è il tempo di ritardo o il tempo con cui il segnale è stato traslato.

Normalizzazione

Quando si normalizza l'autocovarianza C di un processo debolmente stazionario con la sua varianza, $C_{XX}(0)={\sigma }^2$, si ottiene il coefficiente di autocorrelazione $\rho$:

${\rho }_{XX}(\tau )=\frac{C_{XX}(\tau )}{{\sigma }^2}$

con $-1\le {\rho }_{XX}(\tau )\le 1$.

Proprietà

L'autocovarianza di un processo filtrato linearmente $Y_t$

$Y_t=\sum _{k=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{X}_{t+k}$

è

$C_{YY}(\tau )=\sum _{k,l=-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{a}_k{a}_l^{*}{C}_{XX}(\tau +k-l).$

Bibliografia

• Template:Cita libro
• Lecture notes on autocovariance from WHOI

Voci correlate

• Autocorrelazione
• Covarianza (probabilità)
• Correlazione (statistica)
• Covarianza incrociata
• Correlazione incrociata