Approssimazione di densità locale

L'Approssimazione di densità locale (LDA Local-density Approximation) è un'approssimazione sul funzionale energia di scambio e correlazione, nell'ambito della teoria del funzionale della densità (DFT). Consiste nell'approssimare localmente l'energia di scambio e correlazione di un sistema a densità elettronica disomogenea attraverso il contributo del corrispondente sistema omogeneo di densità elettronica pari al valore locale della densità. Fu applicata alla DFT da Kohn e Sham.

Il teorema di Hohenberg e Kohn stabilisce che l'energia dello stato fondamentale di un sistema elettronico è funzionale della densità elettronica. In particolare, anche l'energia di scambio e correlazione è funzionale della densità, ma la sua forma funzionale esatta non è conosciuta. Pertanto sono necessarie approssimazioni.

La LDA è la più semplice approssimazione per questo funzionale. È locale nel senso che l'energia di scambio e correlazione in ogni punto dello spazio è funzione della sola densità elettronica in quel punto.

Il funzionale LDA assume che la densità di energia di scambio e correlazione in ogni punto dello spazio sia uguale alla densità di energia di scambio e correlazione di un gas elettronico omogeneo di densità pari a quella locale del punto.

L'energia di scambio e correlazione può essere separata nelle sue due contribuzioni, di scambio e correlazione,

$E_{xc}=E_x+E_c$

Scambio

La LDA usa lo scambio del gas elettronico omogeneo di densità pari a quella del punto dove lo scambio deve essere valutato,

$E_x=\int d^{3}rn(\overrightarrow{r})\left(\frac{-3e^2}{4\pi }\right){(3{\pi }^{2}n(\overrightarrow{r}))}^{\frac{1}{3}}$

nel Sistema Internazionale di unità, dove $n(\overrightarrow{r})$ è la densità elettronica per unità di volume nel punto $\overrightarrow{r}$ e $e$ è la carica di un elettrone.

Correlazione

Esistono diverse espressioni per l'energia di correlazione:

• Wigner

• Vosko-Wilk-Nusair (VWN)

• Perdew-Zunger (PZ)

• Cole-Perdew (CP)

• Lee-Yang-Parr (LYP)

• Perdew-Wang (PW92)

La correlazione di Wigner è calcolata usando la teoria delle perturbazioni.

VWN, PZ e PW92 sono una parametrizzazione di un calcolo quantum Monte Carlo del gas elettronico omogeneo a differenti densità.

LYP è basata su un fit sull'atomo di elio.