Approssimazione di Percus-Yevick

In meccanica statistica l'approssimazione di Percus-Yevick è un relazione di chiusura per risolvere l'equazione di Ornstein-Zernike; viene talvolta indicata come equazione di Percus-Yevick. Viene utilizzato comunemente in fluidodinamica per ottenere espressioni per la funzione di distribuzione radiale.

Derivazione

La funzione di correlazione diretta rappresenta la correlazione fra due particelle in un sistema che ne contiene altre $N-2$. Può essere scritta come

$c(r)=g_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}(r)-g_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{t}}(r)$

dove $g_{\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{a}\mathrm{l}}(r)$ è la funzione di distribuzione radiale, ovvero $g(r)=exp[-\beta w(r)]$ (con w(r) potenziale) e $g_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{a}}(r)$ è la funzione di distribuzione radiale senza l'interazione diretta fra le coppie $u(r)$; si scrive cioè $g_{\mathrm{i}\mathrm{n}\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{t}\mathrm{t}\mathrm{a}}(r)=ex{p}^{-\beta [w(r)-u(r)]}$. Quindi si approssima $c(r)$ con

$c(r)=e^{-\beta w(r)}-e^{-\beta [w(r)-u(r)]}$

Se si sostituisce la funzione $y(r)=e^{\beta u(r)}g(r)$ nell'approssimazione per $c(r)$ si ottiene

$c(r)=g(r)-y(r)=e^{-\beta u}y(r)-y(r)=f(r)y(r)$

Questo è il punto chiave dell'approssimazione di Percus-Yevick: se si sostituisce il risultato nell'equazione di Ornstein-Zernike si ottiene l'equazione di Percus-Yevick:

$y(r_{12})=1+\rho \int f(r_{13})y(r_{13})h(r_{23})d{𝐫}_{\mathrm{𝟑}}$

Bibliografia

• Jerome K. Percus and George J. Yevick Analysis of Classical Statistical Mechanics by Means of Collective Coordinates Phys. Rev. 110, 1 - 13 (1958)