Angolo tangente

Angolo tangente $\phi$ in un punto $P$ di una curva

LTemplate:'angolo tangente o angolo di rotazione di una curva regolare in un punto $P$ appartenente alla curva è l'angolo tra la tangente alla curva in $P$ e l'asse delle ascisse, oppure tra la tangente in $P$ e la tangente in un punto prestabilito della curva (le due definizioni sono equivalenti a meno di una costante additiva).

Definizione e proprietà

Data una curva regolare espressa dalla parametrizzazione $\alpha (t):[a,b]\to {ℝ}^2$ e dato ${\theta }_0\in [0,2\pi ]$ tale che

$\frac{{\alpha }^{\prime }(t_0)}{||{\alpha }^{\prime }(t_0)||}=(\cos ({\theta }_0),\sin ({\theta }_0))$

per un valore $t_0\in [a,b]$ fissato, si dimostra che esiste un'unica funzione differenziabile ${\theta }_{\alpha }:[a,b]\to ℝ$ tale che

$\frac{{\alpha }^{\prime }(t)}{||{\alpha }^{\prime }(t)||}=(\cos ({\theta }_{\alpha }(t)),\sin ({\theta }_{\alpha }(t)))$

e

${\theta }_{\alpha }(t_0)={\theta }_0$.

Tale funzione ${\theta }_{\alpha }$ è l'angolo tangente di $\alpha$ determinato da ${\theta }_0$.

Se la curva ha velocità unitaria, si ha

${\alpha }^{\prime }(s)=(\cos (\theta (s)),\sin (\theta (s)))$

e si dimostra che la curvatura è data dalla derivata dell'angolo tangente:

$\kappa ={\phi }^{\prime }(s)$

dove il segno di $\kappa$ è positivo se la curva si piega a sinistra, negativo se si piega a destra.

Se la curva è espressa implicitamente dall'equazione $y=f(x)$, una sua parametrizzazione è data da $(x,f(x))$ e si può assumere $\phi \in [-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}]$, e l'angolo di rotazione è dato esplicitamente da $\phi =\arctan f^{\prime }(x)$.

Angolo tangente polare

In coordinate polari, l'angolo polare tangente in un punto è definito come l'angolo tra la tangente alla curva in quel punto e il raggio che va dall'origine al punto stesso. Se $\psi$ denota l'angolo polare tangente, allora $\psi =\phi -\theta$, dove $\phi$ è l'angolo tangente precedentemente definito e $\theta$ è l'angolo polare.

Se una curva è definita in coordinate polari come $r=f(\theta )$ si ha che l'angolo polare tangente $\psi$ in $\theta$ è dato (a meno di un multiplo di $2\pi$) da

$\frac{(f^{\prime }(\theta ),f(\theta ))}{|f^{\prime }(\theta ),f(\theta )|}=(\cos \psi ,\sin \psi )$.

Se la curva è espressa tramite una parametrizzazione in coordinate polari e con velocità unitaria $r=r(s),\theta =\theta (s)$, la definizione diventa più semplice

$(r^{\prime }(s),r{\theta }^{\prime }(s))=(\cos \psi ,\sin \psi )$.

La spirale logaritmica può essere definita come una curva il cui angolo tangente polare è costante.

Bibliografia

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Voci correlate

• Geometria differenziale
• Geometria differenziale delle curve
• Geometrie non euclidee
• Curva (matematica)
• Lunghezza di un arco
• Curvatura

Collegamenti esterni

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