Anello di Gorenstein

In matematica, in particolare in algebra commutativa, un anello di Gorenstein è un anello commutativo tale che la localizzazione in ogni ideale primo è un anello di Gorenstein locale.

Un anello di Gorenstein locale è un anello locale, commutativo, noetheriano R tale che la sua dimensione iniettiva come R-modulo è finita.

Il concetto di anello di Gorenstein è un caso particolare del più generale concetto di anello di Cohen-Macaulay.

Gli analoghi non commutativi degli anelli di Gorenstein di dimensione 0 sono detti anelli di Frobenius.

Definizioni equivalenti

Un anello locale, commutativo, noetheriano $(R,m,k)$, con dimensione di Krull $n$, è detto anello di Gorenstein locale di dimensione $n$ se gode di una delle seguenti proprietà equivalenti:

• $R$ ha dimensione iniettiva finita come $R$-modulo;
• $R$ ha dimensione iniettiva $n$ come $R$-modulo;
• ${\mathrm{Ext}}_R^i(k,R)=0$ per $i\ne n$ e ${\mathrm{Ext}}_R^n(k,R)$ è isomorfo a $k$;
• ${\mathrm{Ext}}_R^i(k,R)=0$ per qualche $i>n$;
• ${\mathrm{Ext}}_R^i(k,R)=0$ per ogni $i<n$ e ${\mathrm{Ext}}_R^n(k,R)$ è isomorfo a $k$.

Caso non commutativo

Un anello R (non necessariamente commutativo) è detto anello di Gorenstein se ha dimensione iniettiva finita sia come R-modulo sinistro che come R-modulo destro. Se R è un anello locale allora è detto anello di Gorenstein locale.

Esempi

• Ogni anello locale regolare è di Gorenstein.
• L'anello k[x,y,z]/(x², y², xz, yz, z²–xy) è un anello di Gorenstein 0-dimensionale.

Proprietà

Un anello locale commutativo noetheriano è di Gorenstein se e solo se il suo completamento è di Gorenstein.

Bibliografia

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• Template:En Hideyuki Matsumura, Commutative Ring Theory, Cambridge studies in advanced mathematics 8.
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Voci correlate

• Anello locale regolare
• Anello di Cohen-Macaulay
• Anello di Frobenius
• Funtore Ext
• Roberto Dvornicich

Collegamenti esterni

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