Analisi della correlazione canonica

In statistica, l'analisi della correlazione canonica (CCA nell'acronimo inglese) è un metodo per inferire informazioni da matrici di covarianza incrociata. Dati due vettori di variabili aleatorie $X=(X_1,\dots ,X_n)$ e $Y=(Y_1,\dots ,Y_m)$ con correlazioni fra di esse, la CCA mira a trovare combinazioni lineari di $X$ e $Y$ che presentino la massima correlazione fra loro. Il metodo è stato proposto per primo da Harold Hotelling nel 1936, sebbene l'idea fosse presente già nel 1875 in una pubblicazione del matematico Camille Jordan.

Definizione

Dati due vettori colonna $X=(x_1,\dots ,x_n{)}^{\prime }$ e $Y=(y_1,\dots ,y_m{)}^{\prime }$ di variabili aleatorie, si definisce la covarianza incrociata ${\mathrm{\Sigma }}_{XY}=\mathrm{cov}(X,Y)$ come matrice $n\times m$ il cui elemento $(i,j)$ è la covarianza $\mathrm{cov}(x_i,y_j)$. Nella pratica, si stima la matrice di covarianza in base a dati campionati da $X$ e $Y$ (ossia da una coppia di matrici di dati).

La CCA parte dalla ricerca dei vettori $a$ ($a\in {ℝ}^n$) e $b$ ($b\in {ℝ}^m$) tali che le variabili aleatorie $a^{T}X$ e $b^{T}Y$ massimizzino la correlazione $\rho =\mathrm{corr}(a^{T}X,b^{T}Y)$. Le variabili aleatorie $U=a^{T}X$ e $V=b^{T}Y$ costituiscono la prima coppia di variabili canoniche. Si cercano in seguito i vettori che massimizzano la stessa correlazione con il vincolo aggiuntivo di non essere correlati con la prima coppia di variabili canoniche; si definisce così la seconda coppia di variabili canoniche.

Tale procedura può essere ripetuta fino a $\min \{m,n\}$ volte.

$$(a^{\prime },b^{\prime })=\underset{a,b}{\mathrm{argmax}}\mathrm{corr}(a^{T}X,b^{T}Y)$$