Algoritmo per il calcolo della radice n-esima

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La radice n-esima, An, di un numero reale A non negativo, è la soluzione reale non negativa dell'equazione

xn=A.

In questa voce è descritto un metodo numerico, che converge velocemente, per il calcolo di questa radice. I passi dell'algoritmo sono:

  1. si prova a stimare un valore iniziale di partenza x0;
  2. si pone xk+1=1n((n−1)xk+Axkn−1), che equivale a xk+1=xk+Δxk, con Δxk=1n(Axkn−1−xk);
  3. si ripete il secondo passo fino a che si raggiunge la precisione desiderata, cioè |Δxk|<ε.

Un caso speciale è il calcolo numerico della radice quadrata, cioè il caso n=2:

xk+1=12(xk+Axk).

La derivazione dell'algoritmo si basa sul metodo numerico di Newton-Raphson.

Derivazione dal metodo di Newton-Raphson

Il metodo delle tangenti o di Newton-Raphson è un metodo per trovare numericamente lo zero di una funzionef(x). Lo schema generale è:

  1. partire da una stima iniziale x0;
  2. xk+1=xk−f(xk)f′(xk);
  3. ripetere il secondo passo fino a che si raggiunga la precisione desiderata.

Il calcolo numerico della radice n-esima si può concepire come la ricerca di uno zero della funzione f(x)=xn−A, la cui derivata è:

f′(x)=nxn−1.

In questo modo si costruisce l'iterazione:

xk+1=xk−f(xk)f′(xk)
=xk−xkn−Anxkn−1
=xk−xkn+Anxkn−1
=1n((n−1)xk+Axkn−1).

Esempio numerico

Si vuole calcolare la radice quarta di

6901827461

Si imposta un primo valore, ad esempio 1000. Utilizzando un foglio di calcolo si può verificare una veloce convergenza:

Foglio di calcolo esemplificativo. Il numero di cui si vuole calcolare la radice è nella casella A1=
6901827461

e l'esponente n=4 della radice nella casella A2.

Si pone la stima iniziale, 1000, nella casella B2.

I valori vengono generati inserendo nella casella B3: (($A$2–1)*B2+$A$1/B2^($A$2–1))/$A$2

6901827461 stima valore calcolato differenza
4 1000 1E+12 -9,93098E+11
751,7254569 3,19328E+11 -3,12426E+11
567,8559656 1,03981E+11 -97078880593
435,3149815 35909921459 -29008093998
347,4029409 14565787245 -7663959784
301,7054079 8285760564 -1383933103
289,1072856 6986121665 -84294203,78
288,235197 6902208103 -380642,2278
288,2312231 6901827469 -7,871785164
288,231223 6901827461 0

Bibliografia

Voci correlate

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