1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯

Template:S In matematica, la serie infinita 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ rappresenta un esempio elementare di una serie geometrica che converge assolutamente. La sua somma vale

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots = \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{1}{2})}^{n} = \frac{\frac{1}{2}}{1 - \frac{1}{2}} = 1 .

La serie si ricollega a diverse questioni filosofiche considerate nell'antichità, in particolare a due dei paradossi di Zenone.^[1]

Dimostrazione

La somma

\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots

è definibile come

s_{n} = \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{16} + \dots + \frac{1}{2^{n}}

per $n$ che tende a infinito. Moltiplicando $s_{n}$ per $2$ si perviene alla relazione:

2 s_{n} = \frac{2}{2} + \frac{2}{4} + \frac{2}{8} + \frac{2}{16} + \dots + \frac{2}{2^{n}} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots + \frac{1}{2^{n - 1}} = 1 + s_{n} - \frac{1}{2^{n}} .

e sottraendo $s_{n}$ da ambo i membri

s_{n} = 1 - \frac{1}{2^{n}} .

quindi, per $n$ che tende a infinito, $s_{n}$ tende a $1$ .^[2]