*-algebra di Banach

Una *-algebra di Banach $A$ è un'algebra di Banach sul campo dei numeri complessi sulla quale sia definita un'applicazione $\ast :A\to A$, detta involuzione, con le seguenti proprietà:

• $(x+y{)}^{\ast }=x^{\ast }+y^{\ast }$ per ogni $x,y\in A$
• $(\lambda x{)}^{\ast }=\overline{\lambda }{x}^{\ast }$ per ogni $\lambda \in ℂ$ e ogni $x\in A$, dove $\overline{\lambda }$ è il complesso coniugato di $\lambda$
• $(xy{)}^{\ast }=y^{\ast }{x}^{\ast }$ per ogni $x,y\in A$
• $(x^{\ast }{)}^{\ast }=x$ per ogni $x\in A$

Il termine B*-algebra è stato introdotto da C. E. Rickart nel 1946 per descrivere una *-algebra di Banach che soddisfa:

$\Vert x{x}^{\ast }\Vert =\Vert x{\Vert }^2$

per tutti gli $x$ nella data B*-algebra. Questa condizione implica che la *-involuzione è un'isometria, ovvero $\Vert x\Vert =\Vert x^{\ast }\Vert$, quindi $\Vert x{x}^{\ast }\Vert =\Vert x\Vert \Vert x^{\ast }\Vert$ e dunque una B*-algebra è una C*-algebra.

Bibliografia

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Voci correlate

• *-algebra
• Algebra di Banach
• C*-algebra

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