Criterio di Cartan

In matematica, il criterio di Cartan è una condizione che, se soddisfatta, prova che un'algebra di Lie è risolubile. Questo implica anche l'esistenza di un criterio per provare che un'algebra di Lie è semisemplice. È basato sulla nozione di forma di Killing, ed è stato introdotto da Élie Cartan nel 1894.

Criterio di Cartan per la risolubilità

Il criterio afferma che:

Sia $𝔤$ un'algebra di Lie formata da endomorfismi, ovvero sottoalgebra dell'algebra generale lineare $GL(V)$ definita su uno spazio vettoriale $V$ di dimensione finita, su un campo $F$ di caratteristica zero. Allora $𝔤$ è risolubile se e solo se per ogni $a\in 𝔤,b\in [𝔤,𝔤].$ si ha $Tr(ab)=0$.

Applicando il criterio di Cartan alla rappresentazione aggiunta, si ottiene un risultato più generale:

Sia $𝔤$ un'algebra di Lie di dimensione finita su un campo $F$ di caratteristica zero. Allora $𝔤$ è risolubile se e solo se $K(𝔤,[𝔤,𝔤])=0$, dove $K$ è la forma di Killing di $𝔤$

Criterio di Cartan per la semisemplicità

Una conseguenza del criterio è il seguente criterio per la semisemplicità:

Sia $𝔤$ un'algebra di Lie di dimensione finita su un campo $F$ di caratteristica zero. Allora $𝔤$ è semisemplice se e solo se la sua forma di Killing è non-degenere

Bibliografia

• Jacobson, Nathan, Lie algebras, Republication of the 1962 original. Dover Publications, Inc., New York, 1979. ISBN 0-486-63832-4