Elemento assorbente

In matematica, un elemento assorbente è un particolare tipo di elemento di un insieme rispetto ad un'operazione binaria nel dato insieme. Il risultato della combinazione di un elemento assorbente con qualsiasi altro elemento dell'insieme è l'elemento assorbente stesso. Nella teoria dei semigruppi, l'elemento assorbente è chiamato elemento zero.

Definizione

Sia $(S,\circ )$ una coppia ordinata di un insieme e un'operazione binaria definita nell'insieme stesso (cioè un magma). Un elemento assorbente $z$ di $S$ è tale che, per tutti gli elementi $s$ di $S$, si ha $z\circ s=s\circ z=z$.

Una definizione più ampia distingue due tipi di elemento assorbente: l'elemento zero destro, per cui $s\circ z=z$ per ogni $s\in S$, e l'elemento zero sinistro, per cui $z\circ s=z$ per ogni $s\in S$. Un elemento che sia zero destro che zero sinistro è un elemento assorbente secondo la definizione precedente.

Proprietà

• Se un magma gode di un elemento zero destro $z$ ed uno zero sinistro $z^{\prime }$, allora essi coincidono e costituiscono l'elemento zero del magma. Infatti, $z=z^{\prime }\times z=z^{\prime }$.
• Se un magma ha un elemento assorbente, esso è unico.

Esempi

Insieme	Operazione	Elemento assorbente
numeri reali	· (moltiplicazione)	0
numeri interi	massimo comun divisore	1
matrici quadrate	· (moltiplicazione)	matrice nulla
numeri reali estesi	elemento minimo	−∞
numeri reali estesi	elemento massimo	+∞
insiemi	∩ (intersezione)	{ } (insieme vuoto)
sottoinsiemi di M	∪ (unione)	M
logica booleana	∧ (congiunzione logica)	⊥ (falso)
logica booleana	∨ (disgiunzione inclusiva)	⊤ (vero)
Insieme	Operazione	Elemento zero sinistro
numeri reali	: (divisione)	0

Bibliografia

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Voci correlate

• Elemento neutro
• Elemento inverso

Collegamenti esterni

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