Indipendenza lineare

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, l'indipendenza lineare di un insieme di vettori appartenenti a uno spazio vettoriale si verifica se nessuno di questi può essere espresso come una combinazione lineare degli altri. In caso contrario si dice che l'insieme di vettori è linearmente dipendente.

L'indipendenza di $n$ vettori in ${ℝ}^n$ può essere verificata tramite il determinante della matrice ottenuta affiancando le n-uple che esprimono i vettori in una data base: questi sono indipendenti precisamente quando la matrice che formano ha determinante diverso da zero. Questo procedimento di calcolo è però in generale dispendioso, e conviene piuttosto utilizzare l'algoritmo di Gauss-Jordan.

Definizione

Sia $V$ uno spazio vettoriale su un campo $K$. Dati ${𝐯}_1,{𝐯}_2,\dots ,{𝐯}_n$ elementi di $V$, si dice che essi sono linearmente indipendenti su $K$ se in tale campo la relazione:

$\sum _{i=1}^n{a}_i{𝐯}_i=a_1{𝐯}_1+a_2{𝐯}_2+\cdots +a_n{𝐯}_n=\mathrm{𝟎}{a}_i\in K$

è verificata solo se gli elementi $a_1,a_2,\dots ,a_n$ sono tutti uguali a zero. Se invece tali n-uple di elementi non nulli del campo esistono, allora si dice che ${𝐯}_1,{𝐯}_2,\dots ,{𝐯}_n$ elementi di $V$ sono linearmente dipendenti.

La definizione si estende anche a un insieme infinito di vettori di $V$: questi sono linearmente indipendenti se lo sono tutti i sottoinsiemi finiti.

Il concetto di indipendenza lineare è di grande importanza, poiché un insieme di vettori linearmente indipendenti forma una base per il sottospazio da lui generato, e quindi il loro numero risulta essere la dimensione di questo spazio.

Lo spazio proiettivo delle dipendenze lineari

Si consideri l'insieme $S$ costituito dai vettori ${𝐯}_1,{𝐯}_2,\dots ,{𝐯}_n$. Si dice dipendenza lineare per $S$ un vettore $𝐚=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$ di $K^n$ diverso da $\mathrm{𝟎}=(0,\dots ,0)$ tale che:

$a_1{𝐯}_1+\cdots +a_n{𝐯}_n=0$

Se una tale dipendenza lineare esiste, allora gli n vettori sono linearmente dipendenti. Data una dipendenza lineare $𝐝$ per un insieme $S$ di $n$ vettori, ogni vettore $\alpha 𝐝$ proporzionale a essa, con $\alpha \ne 0$ appartenente a $K$, è una dipendenza lineare per lo stesso $S$. Questo rende lecito identificare due dipendenze lineari l'una multipla non nulla dell'altra.

In conseguenza di tale identificazione, l'insieme di tutte le dipendenze lineari per l'insieme costituito dai vettori ${𝐯}_1,{𝐯}_2,\dots ,{𝐯}_n$ è uno sottospazio dello spazio proiettivo $P(K^n)$.

Esempi

Nel piano

I vettori $(1,1)$ e $(-3,2)$ in $R^2$ sono linearmente indipendenti. Infatti, siano $a$ e $b$ due numeri reali tali che:

$a(1,1)+b(-3,2)=(0,0)$

allora:

$(a-3b,a+2b)=(0,0)$

cioè:

$a-3b=0a+2b=0$

risolvendo per $a$ e $b$, si trova $a=0$ e $b=0$.

Base canonica

Sia $V={ℝ}^n$ e si considerino i seguenti elementi in $V$:

$\begin{array}{cc}{𝐞}_1& :=(1,0,0,\dots ,0)\\ {𝐞}_2& :=(0,1,0,\dots ,0)\\ ⋮\\ {𝐞}_n& :=(0,0,0,\dots ,1)\end{array}$

allora ${𝐞}_1,{𝐞}_2,\dots {𝐞}_n$ sono linearmente indipendenti. Infatti, si supponga che $a_1,a_2,\dots a_n$ siano elementi di $ℝ$ tali che:

$a_1{𝐞}_1+a_2{𝐞}_2+\cdots +a_n{𝐞}_n=0$

Poiché:

$a_1{𝐞}_1+a_2{𝐞}_2+\cdots +a_n{𝐞}_n=(a_1,a_2,\dots ,a_n)$

allora $a_i=0$ per ogni $i$ in $\{1,\dots n\}$.

Funzioni

Sia $V$ lo spazio vettoriale di tutte le funzioni da $ℝ$ in $ℝ$. Indicando con $t$ la variabile reale, le funzioni $e^t$ ed $e^{2t}$ in $V$ sono linearmente indipendenti. Infatti, si supponga che $a$ e $b$ siano due numeri reali tali che:

$a{e}^t+b{e}^{2t}=0$

per ogni valore di $t$. Si deve dimostrare che $a=0$ e $b=0$. A questo scopo si differenziano entrambi i membri della precedente relazione per avere:

$a{e}^t+2b{e}^{2t}=0$

Sottraendo la prima relazione dalla seconda, si ottiene:

$b{e}^{2t}=0$

e, considerando il valore particolare $t=0$, si ha $b=0$.

Dalla prima relazione allora:

$a{e}^t=0$

e di nuovo per $t=0$ si trova $a=0$.

Bibliografia

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Voci correlate

• Base (algebra lineare)
• Combinazione lineare
• Completamento a base
• Dimensione (spazio vettoriale)
• Indipendenza affine
• Indipendenza algebrica
• Matrice di cambiamento di base
• Spazio vettoriale
• Vettore (matematica)

Collegamenti esterni

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• Template:EnIntroduction to Linear Independence at KhanAcademy.