Sistema di equazioni lineari

Template:Nota disambigua In matematica, e in particolare in algebra lineare, un sistema di equazioni lineari, anche detto sistema lineare, è un sistema composto da più equazioni lineari che devono essere verificate tutte contemporaneamente. Una soluzione del sistema è un vettore i cui elementi sono le soluzioni delle equazioni che compongono il sistema, ovvero tali che se sostituiti alle incognite rendono le equazioni delle identità.

Definizione

Un sistema di equazioni lineari è un insieme di $m$ equazioni lineari in $n$ incognite, che può essere scritto nel modo seguente:

$\{\begin{array}{c}{a}_{1,1}{x}_1+a_{1,2}{x}_2+\cdots +a_{1,n}{x}_n=b_1\\ a_{2,1}{x}_1+a_{2,2}{x}_2+\cdots +a_{2,n}{x}_n=b_2\\ ⋮\\ a_{m,1}{x}_1+a_{m,2}{x}_2+\cdots +a_{m,n}{x}_n=b_m\end{array}$

Il numero $n$ delle incognite è detto anche ordine del sistema.

Se i termini noti $b_i$ sono tutti nulli il sistema è detto omogeneo.

Una $n$-upla $(x_1,\dots ,x_n)$ di elementi nel campo è una soluzione del sistema se soddisfa tutte le $m$ equazioni.

Due sistemi si dicono equivalenti se hanno lo stesso insieme di soluzioni. In particolare, due sistemi lineari sono equivalenti se ogni equazione di uno è combinazione lineare delle equazioni dell'altro.

Forma matriciale

In notazione indiciale il sistema si scrive:

$\sum _j^n{a}_{ij}{x}_j=b_i$

Definendo i vettori dei coefficienti:

${𝐚}_i\equiv \left(\begin{array}{c}{a}_{i1}\\ ⋮\\ a_{in}\end{array}\right)$

e il vettore degli $m$ termini noti:

$𝐛\equiv \left(\begin{array}{c}{b}_1\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right)$

il sistema è equivalente alla combinazione lineare:

$\sum _i^n{a}^i{x}_i=𝐛$

Definendo $𝐱$ il vettore delle $n$ incognite:

$𝐱\equiv \left(\begin{array}{c}{x}_1\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$

ciascuna equazione è equivalente ad un prodotto scalare standard:

${𝐚}_1\cdot 𝐱=b_1$

$\cdots$

${𝐚}_m\cdot 𝐱=b_m$

Se il sistema è omogeneo il vettore delle incognite è quindi ortogonale ai vettori dei coefficienti.

Usando le matrici ed il prodotto scalare fra matrici (prodotto riga per colonna) si possono separare i coefficienti, le incognite ed i termini noti del sistema, scrivendolo nel modo seguente:

$\left(\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m1}& a_{m2}& \cdots & a_{mn}\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_m\end{array}\right)$

Ora se$A$ è la matrice $m\times n$ dei coefficienti:

$A\equiv \left(\begin{array}{ccc}{a}_{1,1}& \cdots & a_{1,n}\\ ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{m,1}& \cdots & a_{m,n}\end{array}\right)$

di cui in effetti ${𝐚}^1,\dots ,{𝐚}^n$ sono le colonne, con le definizioni del vettore delle incognite e di quello dei termini noti il sistema si scrive finalmente in forma matriciale:

$A\cdot 𝐱=𝐛$

Matrice completa

Il sistema può essere descritto usando la matrice completa:

$(A,𝐛)=\left(\begin{array}{cccc}{a}_{1,1}& \cdots & a_{1,n}& b_1\\ ⋮& \ddots & ⋮& ⋮\\ a_{m,1}& \cdots & a_{m,n}& b_m\end{array}\right)$

detta matrice associata al sistema. Essa è ottenuta dalla giustapposizione della matrice dei coefficienti e del vettore dei termini noti.

Le matrici $A$ e $(A,𝐛)$ sono dette rispettivamente matrice incompleta (o matrice dei coefficienti) e completa (o orlata). I numeri $x_1,\dots ,x_n$ sono le incognite, i numeri $a_{ij}$ sono i coefficienti ed i numeri $b_i$ i termini noti. Coefficienti e termini noti sono elementi di un campo, ad esempio quello formato dai numeri reali o complessi.

Caratteristiche

Il grado di un sistema di equazioni polinomiali è definito come il prodotto dei gradi delle equazioni che lo compongono. Quindi un sistema lineare è un sistema polinomiale di primo grado.

In generale, un sistema lineare può essere:

• Determinato, quando ha una sola soluzione.
• Impossibile, quando non ha nessuna soluzione.
• Indeterminato, quando ha infinite soluzioni.
• Numerico, quando le soluzioni sono rappresentate da numeri.
• Letterale, quando le soluzioni sono rappresentate da espressioni letterali.
• Omogeneo, quando i termini noti sono tutti zero.

Se il campo $K$ di appartenenza di coefficienti e termini noti di un sistema di ordine $n$ è infinito, ci sono tre possibilità: esiste una sola soluzione, non ci sono soluzioni oppure ce ne sono infinite. Il teorema che asserisce questo fatto e che permette di stabilire se e quante soluzioni esistono senza risolvere il sistema è il teorema di Rouché-Capelli. Nel caso in cui esistano soluzioni, queste formano un sottospazio affine di $K^n$.

Il sistema omogeneo associato

Si consideri l'operazione lineare:

$L(𝐱)=\sum _i^n{x}_i{A}^i$

Il nucleo di $L$ è lo spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato, mentre l'immagine è lo spazio generato dalle colonne $A^1,\dots ,A^n$. Per il teorema del rango segue che la dimensione dello spazio delle soluzioni più il rango per colonne di $A$ è pari ad $n$.

Essendo il vettore delle incognite ortogonale ai vettori riga della matrice dei coefficienti, lo spazio delle soluzioni è il complemento ortogonale del sottospazio generato dalle righe di $A$. La somma delle rispettive dimensioni deve pertanto essere pari ad $n$.

Dalle due affermazioni precedenti si conclude che il rango $r$ per righe è pari al rango per colonne, e che lo spazio delle soluzioni ha dimensione $n-r$. Lo spazio delle soluzioni è dunque un sottospazio vettoriale di dimensione $n-\rho (A)$.

Lo spazio delle soluzioni

Template:Vedi anche Il sistema ammette soluzione se e solo se il vettore $𝐛$ è l'immagine del vettore $𝐱$ ottenuta mediante l'applicazione lineare $L_A:K^n\to K^m$ definita nel seguente modo:

$L_A(𝐱)=A𝐱$

L'immagine di $L_A$ è generata dai vettori dati dalle colonne di $A$, e quindi $𝐛$ è nell'immagine se e solo se lo span delle colonne di $A$ contiene $𝐛$, cioè se e solo se lo spazio generato dalle colonne di $A$ è uguale allo spazio generato dalle colonne di $(A|𝐛)$. In modo equivalente il sistema ammette soluzione se e solo se le due matrici abbiano lo stesso rango, come stabilisce il teorema di Rouché-Capelli.

Se esiste una soluzione ${𝐱}_0$, ogni altra soluzione si scrive come ${𝐱}_0+𝐯$, dove $𝐯$ è una soluzione del sistema lineare omogeneo associato:

$A𝐯=0$

Infatti:

$A({𝐱}_0+𝐯)=A{𝐱}_0+A𝐯=𝐛+\mathrm{𝟎}=𝐛$

Lo spazio delle soluzioni, ottenuto traslando il nucleo con il vettore ${𝐱}_0$, è quindi il sottospazio affine dato da:

$\mathrm{Sol}(A,𝐛)={𝐱}_0+\mathrm{Sol}(A,\mathrm{𝟎})$

La dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema completo è uguale alla dimensione dello spazio delle soluzioni del sistema omogeneo associato. Per il teorema di Rouché-Capelli tale soluzione è unica se e solo se il rango della matrice $A$ è $n$. Altrimenti se il campo $K$ è infinito esistono infinite soluzioni, e queste formano un sottospazio vettoriale di $K^n$, avente come dimensione la nullità $t=n-\mathrm{rk}(A)$ della matrice.

Strumenti per la risoluzione

Template:Vedi anche Dato un sistema lineare nella forma

$A\cdot 𝐱=𝐛$

dove $𝐱$ è il vettore colonna delle incognite, $𝐛$ è il vettore colonna dei termini noti e $A$ è la matrice dei coefficienti ed è quadrata e invertibile, la soluzione è unica ed è pari al prodotto:

$A^{-1}\cdot 𝐛$

dove $A^{-1}$ è l'inversa di $A$. Il calcolo della matrice inversa è spesso complicato e oneroso dal punto di vista computazionale, ragion per cui un sistema lineare normalmente non viene risolto calcolando direttamente la matrice inversa.

Di grande importanza teorica per i sistemi lineari, ma non utilizzata in pratica per motivi simili, è la regola di Cramer.

Di uso generale per sistemi con migliaia di equazioni è invece il metodo di eliminazione di Gauss, che si basa sul metodo di riduzione.

Il metodo di riduzione

Il metodo di riduzione è specifico per i sistemi lineari. Il procedimento consiste nel sostituire una delle equazioni del sistema con una opportuna combinazione lineare di due equazioni del sistema stesso, ottenendo un sistema equivalente a quello dato. Più precisamente, se due righe sono espresse come prodotto tra opportune sottomatrici dei coefficienti e il vettore x delle soluzioni, ovvero

$\{\begin{array}{c}A𝐱=𝐜\\ B𝐱=𝐝\end{array}$

allora è possibile sostituire una delle due con l'equazione

$m\cdot A𝐱+n\cdot B𝐱=m\cdot 𝐜+n\cdot 𝐝$.

dove $m$ e $n$ sono due numeri scalari qualsiasi, entrambi diversi da zero.

Bibliografia

• Template:Cita libro
• Template:Cita libro
• Template:Cita libro

Voci correlate

• Equazione lineare
• Principio di sovrapposizione
• Rango (algebra lineare)
• Regola di Cramer
• Sistema di equazioni
• Sistema non lineare
• Sottospazio affine
• Teorema di Rouché-Capelli

Collegamenti esterni

• Template:Collegamenti esterni