Teorema della proiezione

In matematica, il teorema della proiezione o teorema della proiezione in spazi di Hilbert è un risultato dell'analisi convessa, utilizzato spesso in analisi funzionale, che stabilisce che per ogni punto $x$ in uno spazio di Hilbert $H$ e per ogni insieme convesso chiuso $C\subset H$ esiste un unico $y\in C$ tale per cui la distanza $\Vert x-y\Vert$ assume il valore minimo su $C$. In particolare, questo è vero per ogni sottospazio chiuso $M$ di $H$: in tal caso una condizione necessaria e sufficiente per $y$ è che il vettore $x-y$ sia ortogonale a $M$.

Dimostrazione

Per mostrare l'esistenza di $y$, sia $\delta$ la distanza tra $x$ e $C$, sia $\{y_n\}$ una successione in $C$ tale per cui la distanza al quadrato tra $x$ e $y_n$ è minore o uguale a ${\delta }^2+1/n$. Se $n$ e $m$ sono due interi allora, per la legge del parallelogramma:

$\Vert y_n-y_m{\Vert }^2=\Vert y_n-x+x-y_m{\Vert }^2=2\Vert y_n-x{\Vert }^2+2\Vert y_m-x{\Vert }^2-\Vert y_n+y_m-2x{\Vert }^2,$

da cui

$\Vert y_n-y_m{\Vert }^2=2\Vert y_n-x{\Vert }^2+2\Vert y_m-x{\Vert }^2-4\Vert \frac{y_n+y_m}{2}-x{\Vert }^2.$

Considerando il limite superiore ai primi due termini dell'uguaglianza, e notando che i termini della successione tra $y_n$ e $y_m$ appartengono a $C$ (e quindi hanno una distanza da $x$ maggiore o uguale a $\delta$), si ottiene:

$\Vert y_n-y_m{\Vert }^2\le 2({\delta }^2+\frac{1}{n})+2({\delta }^2+\frac{1}{m})-4{\delta }^2=2(\frac{1}{n}+\frac{1}{m})$

L'ultima disuguaglianza mostra in particolare che $\{y_n\}$ è una successione di Cauchy. Essendo $C$ completo, la successione converge in un punto $y\in C$ la cui distanza da $x$ è minima.

Per mostrare l'unicità di $y$, siano $y_1$ e $y_2$ due punti che minimizzano la distanza. Si ha:

$\Vert y_2-y_1{\Vert }^2=2\Vert y_1-x{\Vert }^2+2\Vert y_2-x{\Vert }^2-4\Vert \frac{y_1+y_2}{2}-x{\Vert }^2.$

Dato che $(y_1+y_2)/2$ appartiene a $C$ si ha:

$\Vert \frac{y_1+y_2}{2}-x{\Vert }^2\ge {\delta }^2$

e quindi:

$\Vert y_2-y_1{\Vert }^2\le 2{\delta }^2+2{\delta }^2-4{\delta }^2=0.$

Pertanto $y_1=y_2$, che prova l'unicità.

Per mostrare l'equivalenza della condizione su $y$ nel caso in cui $C=M$ è un sottospazio chiuso, sia $z\in M$ tale che $⟨z-x,a⟩=0$ per tutti gli $a\in M$. La condizione è sufficiente in quanto:

$\Vert x-a{\Vert }^2=\Vert z-x{\Vert }^2+\Vert a-z{\Vert }^2+2⟨z-x,a-z⟩=\Vert z-x{\Vert }^2+\Vert a-z{\Vert }^2,$

che prova il fatto che $z$ è un "minimizzatore". La condizione è anche necessaria, come si vede ponendo $y\in M$ un "minimizzatore". Sia $a\in M$ e $t\in ℝ$. Allora:

$\Vert (y+ta)-x{\Vert }^2-\Vert y-x{\Vert }^2=2t⟨y-x,a⟩+t^2\Vert a{\Vert }^2=2t⟨y-x,a⟩+O(t^2)$

è sempre non negativa. Quindi, $⟨y-x,a⟩=0$.

Bibliografia

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• Template:En Luenberger, D. G. Optimization by Vector Space Methods. New York: Wiley, 1997.

Voci correlate

• Distanza (matematica)
• Insieme convesso
• Spazio di Hilbert

Collegamenti esterni

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