Sfera di Bloch

In meccanica quantistica, la sfera di Bloch è una rappresentazione geometrica dello spazio degli stati "puri" di un sistema quanto-meccanico a 2 livelli indicati con $𝐪$ . In altri termini essa rappresenta gli stati "puri" di un registro quantistico a 1 qubit. La sfera di Bloch è geometricamente una sfera di raggio unitario i cui punti sulla superficie sono in corrispondenza biunivoca con gli stati "puri" di $𝐪$ ; questa corrispondenza può essere determinata esplicitamente e fornisce una rappresentazione di $𝐪$ spesso utile.

Si determina questa corrispondenza, cioè la descrizione di un qubit nella sfera di Bloch. Un qualsiasi stato $ψ$ di $𝐪$ può essere scritto come la "sovrapposizione" complessa di due vettori ket $| 0 ⟩$ e $| 1 ⟩$ costituenti una base ortonormale dello spazio di Hilbert di $𝐪$ . Questa rappresentazione dipendente da 4 parametri reali è notoriamente ridondante, sia perché sono sufficienti i vettori di norma 1, sia perché i fattori di fase non influiscono sugli stati fisici. Si può supporre che il coefficiente di $| 0 ⟩$ sia reale e non negativo: con questa scelta ogni $ψ$ utile e di norma $1$ viene rappresentato come:

| ψ ⟩ = \cos \frac{θ}{2} | 0 ⟩ + e^{i ϕ} \sin \frac{θ}{2} | 1 ⟩

con

0 \leq θ \leq π, 0 \leq ϕ < 2 π

.

I parametri $φ$ e $θ$ , un po' diversi da quelli utilizzati solitamente per le coordinate sferiche, identificano univocamente un punto di coordinate $(x, y, z)$ sulla sfera unitaria dello spazio euclideo $ℝ^{3}$ tramite le seguenti espressioni:

{\begin{matrix} x & = \sin θ \cos ϕ \\ y & = \sin θ \sin ϕ \\ z & = \cos θ \end{matrix}

.

Questa corrispondenza è biunivoca ad eccezione dei punti $(0, 0, 1)$ e $(0, 0, - 1)$ per i quali $ϕ$ è ininfluente.

Due punti agli antipodi della superficie della sfera rappresentano vettori fra loro ortogonali.

In questa rappresentazione $| 0 ⟩$ è mappato nel punto $(0, 0, 1)$ e $| 1 ⟩$ è mappato nel punto $(0, 0, - 1)$ . Ad eccezione di questi due poli ogni coppia $(θ, φ)$ si trova in corrispondenza biunivoca con uno stato di $𝐪$ .