Sistema tempo-invariante

Template:S Un sistema tempo-invariante o sistema stazionario, talvolta abbreviato in TIV (dall'acronimo inglese Time-Invariant System), è un sistema dinamico in cui l'uscita non dipende esplicitamente dal tempo. I sistemi tempo-invarianti sono descritti matematicamente da equazioni autonome e dalla funzione di trasferimento, e sono caratterizzati dal fatto che se un ingresso $x(t)$ produce l'uscita $y(t)$ allora per ogni ingresso traslato $x(t+\delta )$ si ha un'uscita traslata dello stesso fattore $y(t+\delta )$.

Tra i sistemi stazionari maggiormente studiati ci sono quelli lineari.

Definizione

Si consideri l'operatore di traslazione ${𝕋}_r$ che trasla $x=x(t)$ di un fattore $r$. Per esempio, se $r=1$ l'azione di ${𝕋}_1$ è:

${\tilde{x}}_1={𝕋}_{1}x=x(t+1)=\delta (t+1)*x(t)\mathrm{\forall }t\in ℝ$

Se si rappresenta il sistema attraverso un operatore $ℍ$, il sistema è tempo-invariante se $ℍ$ commuta con l'operatore di traslazione:

${𝕋}_rℍ=ℍ{𝕋}_r\mathrm{\forall }r$

In altri termini, il sistema:

$y=ℍx$

è tempo-invariante se applicando prima $ℍ$ su $x$:

${𝕋}_rℍx={𝕋}_{r}y=y_r$

oppure applicando prima ${𝕋}_r$:

$ℍ{𝕋}_{r}x=ℍx_r$

si ottiene il medesimo risultato:

$ℍx_r=y_r$

ovvero l'ordine con cui agiscono i due operatori non cambia la loro azione complessiva.

Voci correlate

• Finite impulse response
• Operatore di shift
• Sistema autonomo (matematica)
• Sistema dinamico lineare stazionario